——读华应龙老师《我就是数学》一书有感

    我们说，从事任何一项工作都需要激情、能力。要想真正做出成绩，光有激情是不够的，还要有对这项工作的信仰。对，就是信仰，像信仰宗教那样的信仰。因为有了信仰，你才会真正认可它，才会把自己全身心放在这上面。华应龙老师就是一个这样的人。这次外出听课学习，有幸听到他作的课、讲座，还购买到他写的一本书——《我就是数学》，听听这个名字，就不简单。“我就是数学”，需要多大的底气才肯说出这句话？“我就是数学”，不是狂妄，是肯定，是对自己的一种承认。的确的，作者工作近二十六年来，一直在教学第一线，学习、研究、总结、提升，用数学的眼睛来关注生活，用先进的思想观照课堂，用智慧的实践演绎精彩的人生。从一个普通的中等师范生，到全国名师，天子脚下的校长（北京第二实验小学副校长），这其中的收获都来自于付出。

捧读《我就是数学》，我感到特别亲切，不只是因为华老师上课的幽默，看到文章中的一个个小故事，回想起他上课时的爽朗的笑声，仿佛再一次坐在华老师的课堂里，听他娓娓道来；同时还有与我一样的起点，都是农民出身，都是中等师范毕业，少了一些专家的高高在上的距离。

同样是都教书，有人把它当成一份职业，上班时来，下班回去，做了就是做了；有人把它当成一份事业，把知识的传授与孩子生命的点化融为一体；华老师是后者；正如他说的那样，上课有三大任务：传授知识技能，启迪智慧，点化生命。因为有了点化生命这一职责，所以才会有“人皆可以为尧舜”的感慨，因为把它当成事业，才会处处思考如何上课，上出精彩，即使遇到脑袋磕破，也会把这样尴尬的事件为有趣的教学资源；才会为了一节新课导入，寻找一个合适的教学情境，几次三番修改，忍痛割爱舍弃，冥思苦想求证；即便“擦黑板”这样的小事，作者也会有另类的解读——可以帮助教师快速“温课”，显示了对学生的尊重，同时显现出教师的一种精神，一种气势，它理应成为课堂教学的一部分。

《我就是数学》全书共分六部分：即“课前慎思”、“课中求索”、“课后反思”、“听课随想”、“评课心语”和“生活感悟”。其中，既有华老师的教，也有他对别人执教的课的评价，既有日常教学实践的反思，也有一些为师的感悟。读完全书，我感觉仿佛每个章节的背后都蕴藏了无穷的玄妙，让人怀着更为真切的敬畏之心，希望走近作者、走进课堂。我以为他的成功不仅源于他对数学的一种执著的坚守，更来自他对课堂的一种悉心的守望——他的“不抛弃、不放弃，要扬弃”的精神！即便上了多次的教学内容，再次执教时，华老师仍会提出“从来如此，便对吗？”“究竟怎么读分数？”等一些问题。华老师用自身的不懈努力，使人惊醒：人师，教育人的追求！好课，不在小技巧，而在大情怀！

读这本书，学习他的“像农民种地那样教书”，这是作者的真切感悟。农民种的庄稼长得不好，从来不责怪庄稼，而是反思自己：土是不是松得适宜，肥是不是施得及时，有没有及时浇水和除虫。因为他知道庄稼始终是无辜的。我们应像农民那样，经常追问自己：学生上课为什么不专心，作业为何总是出错……多么朴实而又感人的心声！

 读这本书，学习他的学习方式。腹有诗书气自华，华老师自小酷爱读书，文化底蕴较深，文章中经常引古论今，富于联想，从我国十代孔子、老子、庄子、墨子到黑格尔、恩格斯、爱因斯坦，从宋朝无德禅师到《红楼梦》中的林黛玉，甚至还引用了美国前总统艾森豪威尔母亲的一段话；从诗歌到故事他都能结合课堂中发生的事，在全方位的反思中恰当地引用，正如古人所说，功夫的诗外。因为有了浓厚的文化底蕴，所以才能够有这样随意拈来的轻松。不能隔裂教学，所有的学科都是相通的。数学也是一种文化，它不只是写写算算。

读这本书，学习他的思考。不仅思考教材，思考学生，还要善于思考日常生活中的事，华老师能够从打蓝球、农民种地、赶南苑机场等事情联系到教学，联系到数学，就是因为他已经把自己认为“我就是数学”。

  我爱读这本书，华老师的睿智、博学多才、乐学善思，风趣幽默，给我留下了深刻的印象，感动着我，也就愿意把此书推荐给各位教师们。我更希望教师们在思考中读这本书，学习华应龙像农民种地那样教书的这份深情、这份智慧。

在上《买矿泉水（连乘）》这节课时，我遇到了一个难题。

这节课教学目标是让学生结合情境，理解连乘的计算顺序。这也是北师大教材的一个特点，结合具体情境教学式题的计算。而为做到这一点，首先需要让学生在理解情境的基础上正确列式。

本节课的主题图是:张老师要买2箱矿泉水，每箱24瓶，每瓶3元，一共花多少钱？

计算方法一般有两种：第一种，先求每箱多少元？再求一花多少钱？列式为3×24×2=144。第二种，先求一共多少瓶，再求一共多少元？列式为：3×(24×2)=144。当然分步列式也可，针对三年级的具体情形，分步列式是首选。

一部分对题意不善于分析的学生会觉得，今天学得知识内容是连乘，那么3×2×24也可以。

对于这种理想倾向，我是坚决反对的。虽然结果是一样，但3×2表示什么？没有意义的列式是不足取的。

没有想到在巩固练习阶段，一个学生给我一个难题：有2个小组在跳绳，每个小组有4人，平均每人跳65下，一共跳多少下？

在出现先求一共有多少人？再求一共多少下后？（列式65×(4×2)）以及先求每组多少下，再求一共多少下（列式65×4×2）后，  

一个学生举手说可以列式65×2=130   130×4=520

什么意思哇？每人跳65下，有2个小组，里面有2个65的意思吗？怎么可以这样列式？

我想否决这种列式。又一想，让大家讨论一下，让其他同学也明白，没有根据乱列式，即使结果是一样也是不对的。于是我没有下判断说对与错，而是对所有学生提议：说说看，这个列式表示什么意义？

在全班同学沉默了一会儿后，学生小W说：把两组的学生排在一起，每组取1个同学，这两个同学跳了130下，像这样的共有4个，也就是4个130。

蛮有道理嘛！这个同学真厉害，能够这样建构这道算式，开始时我也没有想到还可以这样理解。

   看刚才的表现,绝大多数的同学是不理解的，只是先有算式,再去揣摩算式的意义，就是自己想出这个列式的同学也不明白自己为什么这样列式。

需要赞同吗？如果赞同是不是在鼓励那些不明白为什么这样列式而是“凑”的列式？“凑”对于培养学生的解题能力有帮助吗？

   不需要赞同吗？有人帮助他理解了，而这种理解完全是可行的。

   真是一个难题呀！

美国斯坦福大学心理学家詹巴斗进行了一项试验，他把两辆一模一样的汽车分别停放在帕罗阿尔托的中产阶级社区和相对杂乱的布朗克街区。对停放在布朗克的那一辆，他摘掉了车牌；而且把顶棚打开，结果一天不到就被人偷走了；而停放在在帕罗阿尔托的那一辆，停了一个星期也无人问津。后来詹巴斗用锤子把这辆车的玻璃打了一个大洞，结果仅仅几小时车就不见了。以这项试验为基础，政治学家威尔逊和犯罪学家凯林提出了“破窗理论”。他们认为：如果有人打坏了一栋建筑上的一块玻璃，而这扇窗户又没有被及时修复，别人就有可能受到某些暗示性的纵容，去打坏更多的玻璃。久而久之，这些窗户就给人造成一种无序的感觉，结果在这种公众麻木不仁的氛围中，犯罪就会滋生、蔓延。

及时修好“第一扇被打碎的玻璃的窗户”很重要，这是破窗理论给我们带来的启示。对此中国古代典籍中早有一述。《韩非子 喻老》中说：“千丈之堤，以蝼蚁之穴溃；百尺之室，以空隙之烟焚”。《三国志。中记载刘备在遗诏中嘱咐继位的儿子刘禅：“勿以恶小而为之，勿以善小而不为。”〈战国策 楚策〉中说：“见兔而顾犬，未为晚也；亡羊而补牢，未为迟也。”

一扇破窗对于学校教育，班级管理来说，就好比学生中一些不良的行为，不良的思想动态。虽说有些不良的行为，不良的思想动态微不足道，但如果不能得到及时的制止，最终会越来越多，直止影响甚至危害到班级的发展。

人天生具有攀比性和从众性。一件好事能促使人们见贤思齐；而一件坏事得不到及时的制止与纠正，就会让人去模仿。在班级管理中要为学生树立良好的正面的榜样。一位禅师问弟子，如何才能清除掉一块荒地上的野草，有弟子说勤割，有弟子说用火烧，也有弟子说把泥土深翻，第二年，荒地仍是一片葱茏。而禅师种上庄稼，除了庄稼，野草再也看不到了。正如革命导师告诉我们，一个阵地你不去占领，就会被敌人占领。对于思想领域这块阵地，我们要用真善美去驻扎。不要让虚伪、浅薄、丑陋、邪恶有机可乘。

教育学生人严格自我约束，摒弃侥幸心理，“见贤思齐焉，见不贤则内自省焉，”只要人人都不去打破“玻璃”人人争做“玻璃”的守护者，我们教育的‘窗户才能更多明亮。

傍晚放学回家，刚吃晚饭，接连接到两个家长的电话。一个问，学生晚上有没有的家庭作业，另一个问怎么给孩子辅导一道题。

第一个学生没有把晚上的作业内容抄回家，作业本也没有带回家，电话中家长一团火气：开学才两三个星期，孩子丢三落四，已经三四次没有把作业本带回家了。家长只好自己到学校去拿。好在学校有门卫，教室门也没有锁，可以进去。可接二连三，再脾气好的家长也有点恼了。“没办法了，老师，帮我好好教育教育他。”

第二个家长也是一团火气，一道165÷5不会做，教了近一个小时，勉勉强强让孩子接受了答案。责怪孩子上课不认真听，165÷5列个竖式多方便呀，怎么这么难？老师上课没有教过吗？孩子委屈地说：上课老师只教过口算。电话打过来，没错呀，书本上是刚学过口算，列竖式计算按教材编排在第六单元才学。

回想起上周五傍晚在一个店铺里看到的情境：这是一个家庭店，父母看店，孩子刚刚放学很乖巧地坐在店里的一张小桌子做作业，孩子爸爸在旁边看。

“这道题怎么不会做了”突然孩子孩子爸爸冒出一句话，原来是一直很流畅在解题的孩子在一道解决问题里停滞了下来。孩子望了望爸爸，犹豫了一下写了一个式子，“做错了，每天读51页，5天可以读多少页？”孩子爸爸继续问道。孩子看看爸爸，一时不敢往下写。

我有点看不下去了，劝孩子爸爸：“不要着急，让孩子想想，她会做出来的。”

“这个孩子就是偷懒，一遇到难题就不会做。”

 “这么简单的题怎么不会做？我老大一巴掌打来了，5天读多少页就是用51×5，”爸爸有点生气了，顺口就把式子报出来。

孩子写下51×5=255页。

“再看看，300页比255页多，就是说不能按时看完了。”爸爸不耐烦了。

在这个过程中，孩子没有一丁点独立思考的时间与空间，完全是爸爸的包办代替。

我在电话里对第一个孩子的家长说，也要让孩子吃吃苦头。每次一忘记带回家，就家长出面到学校帮忙，还是改不掉这个丢三落四的习惯，他已经有所依靠了。再有这样的事，就让他自己到学校去拿，如果怕晚上安全出问题，就让他拖欠一次作业，第二天到学校接受老师的批评与惩诫。也可以在家罚，比如说罚他不准看电视多少时间。罚少给他少多少零花钱。让他长长记性。孩子要成长的，家长不可能永远跟在他的身后。不能光靠说教。

“老师，你说得有道理，我试试看。谢谢老师”家长的心情稍稍平服下来。

 对第二个家长，我问她，“你是怎么辅导的呀？”

“我记得我小时候是用竖式的，所以我教她用竖式。可她……我看她虽然知道答案，估计还是不太理解的。”

“这是练习册编排的问题，这种列竖式的习题的确还没有学到，过几个星期才会学”。我劝慰道。

“看来我是错怪她了。”家长有点后悔。

“跟孩子好好说，具体怎么理解，明天到学校，我们再和她探讨。”

电话放下了，我却陷入深思：

现在家长的确比以前重视自己孩子的教育了。但问题是，爱孩子，重视孩子方法却不见得正确。

一方面，我们的家长当时自己学习时所用的教材是实行义务教育前的部编教材或者是省编义务教育教材，现在实施的国家课程标准的教材从内容编排到学习方式上都有很大的差别。用老经验去指导自己的孩子学习势必会造成孩子理解上的困惑。

比如说三年级第五册教材的第一单元的乘除法都是口算。这与以前的教材就有很大的区别。在家长的心目中，口算是为笔算打基础的。口算方法与笔算方法没有太多区别，只不是一种列竖式，一种是看横式写答案。可教材的编排目的却不是这样。国家课程标准解读中提道，口算就是心算，它基于个人对数的基本性质和算术运算的理解。心算为个性化、多样化地解决解决问题提供机会，心算不是作为笔算的台阶，而是一种不同的训练。是以训练学生思维为主的。以16×5为例，如果用笔算，按照计算法则，学生用口决：五六三十，写零进三，一五得五加三得八。合起来就是80，学生边说边写。笔算培养的更多是学生操作程序的能力和认真细致的习惯；而口算则需要把所有的思考过程都在脑中完成：十乘五得五十，五六三十，合起来是八十。学生报出结果80。“在心算的过程中计算者要将计算分割成很多的小过程，将各种信息在头脑中进行合理的拆分、拼组，并在短时间内完成所有步骤，得出正确结果，这是一种很高级的心理活动。而计算者正是通过这样的心理活动，锻炼了自己的思维，发展了注意力、记忆力（瞬间记忆力）和创造思维能力”。（顾志能《谈“笔算式的口算”》）

两种理解对于辅导学生来说就会出现两种不同的方法。老师在学校这样讲，家长在家里换一套，孩子不迷糊才怪。

第二方面关于教育方法。就拿店里的那个小女孩来说，新教材中没有专门的应用题。问题解决是融入到每个具体情境中的，它与计算教学相结合。与自己的生活经验、知识经验、学习经验相结合，去发现问题的解决办法。家长的思路来源于自己的生活、学习经验，家长们接受中学甚至大学的教育，对问题的理解不可能站在孩子的角度，用孩子的眼光去看待，又不愿意相信孩子，给孩子时间与空间，大包大揽，以为帮助了孩子，却不知道自己的行为已经让孩子丧失这样的一个提高自己独立解决问题能力的机会。

配套辅导资料中出现的64÷4   165÷5这样的习题是不是也有这样的功能？虽然在第一单元中的确是没有出现高位除以一位数不是刚好够除的情形，但一般成绩优秀的学生经过思考还是有可能解决的。在平常教学中，我们非常讲究数形结合，在教学84÷4这样的口算时，我让学生通过分小棒的形式去理解算理；也通过乘除法互逆关系去寻找商。如果学生举一反三，认真去想想，分分小棒，应该能够找到习题的答案。更重要的是，在寻找答案的过程中，学生真正经历了一次解决问题的过程：利用所学知识，利用数学思想去构建新的知识。

    看来与家长的沟通还有很多事情要做。

开学后这一段时间，主要的学习内容就是计算。首先是两三位数乘一位数的口算；第四单元是两位数乘一位的笔算。第五单元是笔算除法。在引导学生学习了口算后，我没有按照的编排进行第二单元观察物体的教学，而是跳到第四单元笔算乘法。我想，在学了口算后，学生刚从表内乘除法过渡到两三位数乘法，兴趣正浓。突然中断，进行空间图形的认识；质量单位千克、克、吨的认识。然后才进一步进行笔算乘法。对学生而言未尝不是一次干扰。因此在口算教学后，毅然进行笔算乘法的教学，满足一下学生正浓的求知欲。

在教学时，我比较重视算理的理解。对于每一个乘法竖式的由来都是与学生反复探讨，力求让学生理解，知其然也知其所以然。从学生的演算情况看，这样做，的确有一定的效果。

但可惜的是，独立作业正确率却不与预期目标合不上拍。

与学生的反馈交流中我发现，如果把告诉学生，这道题做错了，绝大多数的学生能够自己修正自己的答案。但在独立作业中，错误依然不少。

这是什么缘故？

分析原因我想可能是独立作业的习惯还未形成。一、二年级时在家长陪同下完成的作业习惯到了三年级可能就不适应了。学科增多，作业量增加。家长也不可能像一二年级那样时时陪同。依赖意识严重的学生就会显得困难重重。

针对这种情况，我左思右想，是不是利用学生渴望被人承认的意识去作一篇文章？在今天的作业讲评时，我就要求学生去统计开学来作业满分情况，“你得了多少个100分？”对一部分优秀的学生进行奖励后，说道：“你想得100分吗？”

“你觉得怎么才能得到更好的成绩？”

顺理成章，我介绍了一些作业检查的习惯。其中特别提到用估算的方法来提高计算的正确率。

比如说有学生计算204×3就等于6012。分析原因主要是学生对计算方法的错误理解。但避免这种结果还有一个好办法，那就是估算。如果学生具有估算意识，他应该很明确知道这题的答案大约是600而绝不可能是6012。

估算的价值很大，其中一个方面就是估计运算结果的合理性。在计算前进行估算，可以估计出大致结果，为计算的准确性创造条件；计算后进行估算，能判断计算有没有错误，并找出错误原因，及时纠正。

我想今后可以在学生养成对计算结果的检验意识方面多下功夫。比如说学生在计算后，可利用估算的方法来判断计算结果的合理性。如计算的结果是否符合生活实际等，以检验计算的正确性。养成习惯，将有助于增强学生对计算结果的检验，找出问题所在，减少不必要的失误。

      数学这门学科是严谨的，而严谨的态度来自于每一个环节，教师的教学、辅导，学生的听课、发言、作业。

     唤醒学生精益求精的意识，获取最好的学习习惯。

今天是本学期的第一节课，课题是小树有多少棵。看到这个课题，好怀念刚刚“寿终正寝”的省编义务教育教材，那课题多简洁，同样的内容，课题是一位数乘整十、整百数的口算。学生一看就知道今天应该学什么，而不是像现在这样，“小树多少棵？”学什么呀？上完课才知道。这也许就是国标本教材与省编教材的区别吧？紧密联系生活，应用生活。

在学生进行了新课的学习后，教材后编有这样一道习题：

3×2             5×4            6×7

30×2            50×4           60×7

300×2           500×4          600×7

编者的意图是通过对比练习，让学生进一步熟练一位数乘整十、整百数的口算方法吧。通过让学生说说你发现了什么？初步概括口算方法。在准备这节课的时候，我想是不是可以通过对比，引导学生去发现因数的变化与积的大小之间的规律呢？《课程标准》中将数感的培养作为一个主要内容列入其中。《标准》中指出：“数感主要表现在：……，能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。”教材的编排也非常便于学生观察到积的大小变化与因数的大小之间的关系。这样的引导相信能够让学生初步感知到这一点。

在组织学生概括出一位数乘整十、整百数的口算方法后， 有个学生果然提到：积多了一个0。这个学生的话说得不够完整，但其他同学显然明白了他的意思。“对，下面的答案比上面一题多一个0。”

“你们说得非常好，谁能够把他的意思说得更完整些？”我继续引导。

“多一个0，用数学的语言是什么意思？”

学生意识到添一个0，就是把这个数扩大10倍。

“那乘数之间有什么特点？”

“一个乘数不变，另一个乘数扩大10倍”

在我的引导下，学生开始逐步完善他们的发现。

对于这个发现可能还不太完整，基于学生目前的知识状态，我也只让学生了解到一个乘数不变，另一个乘数扩大10倍、100倍，积也随着扩大10倍、100倍为止，没有再深入进去。

一道习题虽然花的时间比较多，但学生除了概括出口算方法，而且也学会从另一角度去发现运算结果与算式的各部分之间的关系，我想也是值得的。

2009-9-3

同学们，大家好：

今天我的讲话内容是《网络文明，从自己做起》

计算机的出现到现在只不过六十几年，它的发展真可谓一日千里。现在它不但广泛地应用于大人们的社会生活中，而且给我们的同学也带来了方便与快乐。有了网络，你可以坐在家中即可浏览众多网上图书馆丰富的图书收藏；几秒种内，便可收到相隔万里的来信，可以随时和同学沟通，可以向老师讲出一些面对面不敢讲的话；在最短的时间内获得各地各种详细的、自已想知道的信息；可以自己或与他人共同进行网络游戏；可以通过网络寻求更多有利于自己成长学习的信息和知识。

但无限美丽的世界中总有阳光照射不到的地方。网络世界带给我们便捷的同时也带给我们拉圾信息和糟粕。网络上的不良内容对孩子们身心健康带来巨大的危害。对于那些不能很好利用网络的同学来说，网络游戏耽误了他的学习时间，暴力恐怖游戏还可能带来了犯罪，黄色网站让他们学会了流氓。

网络是把双刃剑，用得不好，它可以让我们落入深渊；用得好，它能使我们进入知识的海洋。因此，应该从我做起，抵制不文明网络行为，拥护网络文明之风，有意识地练就“一双慧眼”和“火眼金睛”，分辨清楚哪些东西是有益于我们健康成长的，哪些行为是需要我们拒绝的。

那么我们应该做到文明上网呢？

第一、上网一定要有目标。

在上网时首先要清楚自己今天为什么上网？我想同学们上网主要有三个目的：获取信息、网上学习和休闲娱乐；上网后，要根据自己的目标，安排内容。如果是查资料，那就不玩游戏。如果是休闲娱乐，就自己确定娱乐时间，不痴迷，时间到了一定下线。

第二、时间要适度，要调整好自己的心态，，减少聊天玩游戏，严格控制玩游戏的次数，当然有的人自制力差，那请要爸爸妈妈监督。

第三、不碰黄色网站和不良网络游戏，玩积极向上的网络内容；

我们要进入健康、文明、有益、有趣的适合少年儿童会的网站，把一些网站添加到家中电脑收藏夹中。如“少儿网”，它是中国少年儿童新闻出版总社网站，包括中国少年报，中国儿童报，中国学生报等内容；还有“上海少儿信息港”，“中国少年雏鹰网”等。

第四、要增强自我约束和自我保护能力。

网络是虚拟的，我们不知道在网络的另一头是怎样的人。同学们由于在年龄、学习和社会经验等方面的特点很容易被一些不良用心的人欺骗。我们要善于保护自己，不把自己资料随意给别人，不随意约会网友，不随便听信他人。    

最后让我们一起学习一下《全国青少年网络文明公约》

       要善于网上学习 不浏览不良信息

       要诚实友好交流 不侮辱欺诈他人

       要增强自护意识 不随意约会网友

       要维护网络安全 不破坏网络秩序

       要有益身心健康 不沉溺虚拟时空

亲爱的同学们：

这是一个光荣的时刻，也是一个充满希望的时刻。我们今天在这里举行茶话会，也是为了见证你们得来不易的成功与智慧，见证你们新的未来的开始。作为我，你们的班主任，十分高兴地与你们一起分享这开心的时刻；也为你们的成长与进步而沉浸在喜悦之中。

自三年级至今，我们已携手走过了四个春秋。四年来，我们相识、相知、相伴；四年来，我们手牵手、心相连，共同成就了一个优秀的班集体。在这里，我们曾挥洒过汗水，也收获过硕果；在这里，我们曾流下过泪水，也绽放过微笑。蓦然回首，那一切的一切皆如昨日一般，那点点滴滴近在眼前。何等美好！何等珍贵！怎能相忘！

离别在即，我要对同学们说一声：“对不起！”，因为在我们共同成长的过程中，不仅同学们犯过错误，老师也犯过错误。由于对你们的过高要求，致使有些同学被我惩罚过。其中，固然有同学们的不是，更有我情绪过激的原因。为此，我一直耿耿于怀。同学们可以犯错误，但老师不可以犯错误，如果我的某些行为曾给同学们造成过伤害，在这里我向同学们道歉，希望能得到同学们的谅解。

离别在即，我祝贺你们顺利地完成了小学六年的学习任务，祝贺你们就要从一个新的起点开始人生又一段新的征程！

同学们，作为天马二小的毕业生，我们期待着，我们期待着你们的成功，期待着你们成为“理想远大、热爱祖国的人”，成为“追求真理、勇于创新的人”，成为“品德高尚、健康发展的人”，成为“视野开阔、 胸怀宽广的人”，成为“幸福生活的人”，成为“有益于他人的人”

海阔凭鱼跃，天高任鸟飞。此刻，我也真诚的祝愿你们的生命之舟在新的岁月港湾里启航，直挂云帆，乘风破浪。祝福你们，也相信你们一定会一路平安，一帆风顺！

努力吧，同学们，希望就在你的手中！

谢谢大家！

我们应该注意的细节

细节35如果有人不小心碰到了你，尽管不是你的错，你也应该说"对不起"

细节36外出活动，进入公共场所时要保持安静

细节37外出活动，要对你正在参观的场所加以赞赏

细节38集会期间不要说话，也不得和你的朋友打招呼

细节39在家里接电话时，必须做到礼貌得体

细节40外出旅行返回时，要和每一个旅伴握手并致谢

细节41在自动扶梯上，要站在右侧，从左侧走动

细节42站着排队时，要将两臂放在身体两侧，移动时要安静

细节43排队时永远不能加塞儿

细节44在电影院里看电影期间，不得说话

细节45不能把零食带进学校

细节46如果有谁欺负你，告诉老师

细节47坚持你的信念

细节48用正面、积极和欣赏的态度生活

细节49既然想做一件事，就只管去做

细节50从错误中汲取教训，然后继续前行

细节51不管情况怎样，永远保持诚实

细节52把握现在

细节53尽你所能成为最出色的人

     “学校无小事，事事有教育”这是人们谈到到学校教育常常说的一句话。班级作为学校的一个重要组成部分，从小事抓起，注重细节管理至关重要。

      一、关注细节，建立班规

      现代工业管理的一个重要特点是标准化管理。先制定好各种规章制度，再按律执行。这样就可以事事有章可循，极大提高了工作效率。比如说肯德基，它在进货，制作，服务等所有环节中，每一个环节都有着严格的质量标准，并有着一套严格的规范保证这些标准得到一丝不苟的执行，包括配送系统的效率与质量；每种作料搭配的精确（而不是大概）分量；切青菜与肉菜的先后顺序与刀刃粗细（而不是随心所欲）；烹饪时间分秒限定（而不是任意更改）；清洁卫生的具体打扫流程与质量评价量化乃至于点菜、换菜、结帐、送客、遇到不同的问题的文明规范用语、每日各环节差错检讨与评估等等上百道工序都有严格的规定。肯德基的成功在相当大层面就在于它的这些细节管理上。

班级管理也完全可以借鉴这一点。比如说建立起自己的班规。

以往在处理班级一些事务时，随意性太强，有一些要求因为没有形成文字，朝令夕改，不能取得很好的效果。比如说打扫卫生，看起来每天都安排下去，每件事都有人去做，但事实却不然。安排打扫第一组的打扫好自己那一组，随即溜之大吉。擦黑板的，负责的同学每节课上课前能把黑板擦得干干净净。每天放学后，能够能清水把黑板擦净，把粉笔灰清理掉。不负责任的，上课教师已经走进教室了，在老师和同学催促下，才不情愿地去擦。这个学生今天犯了错，老师这样惩罚。明天另一个同学犯了错，教师又想出另一招。凡是种种，不一而足。老师忙得不可开交，却取不得很好的教育效果。因此，制订一份切合实际的班规，罗列班级管理的方方面面，为教师解脱烦恼，让学生也知道应该怎么去做。这个学期我就尝试做制订了《六（3）班班规》22条。涵盖纪律、学习、卫生等方面。在这些条款中，有要求怎么做的，也有违反后怎么处罚的。在班队会上和全体同学讨论通过后，有些事情就比以往轻松多了。因为不需要老师每天再去提醒，应该怎么去做，班规里有详细说明，只要对照班规照此执行就了。

     二、关注细节，植根于爱

鲁迅说:“教育是植根于爱的。”   爱学生首先要尊重学生。尊重学生不仅是尊重学生成长过程的成功，而且还尊重在成长过程中的过失。现在不是很流行一句话吗？错误也是一种教学资源。在学科方面，我们每个教师都可以谅解学生所犯的错误。教室本身就是允许犯错的地方，如果学生都会了，那还要老师干什么？但对于一些学生所犯的行为上的，品德上的不足，我们老师就不那么容易放过了。

要懂得宽容和理解孩子的过失，把过失看作是还需要学习和提高的地方，而不是当成不可饶恕的缺点，这样你就能心态平和的看待孩子在成长中无意识的过错，更愿意耐心的去指导孩子。

爱学生就公正对待学生，每个教师都不得不可避免会喜欢班里一些学生，对另一学生不太喜欢。但老师对学生的评价要保持公正。既不能偏爱少数几个优秀学生，也不能歧视后进生。偏爱几个优生，会使其他学生产生抵触情绪，跟老师疏远，同时几个你偏爱的学生会在集体中孤立；歧视后进生，会使他们破罐子破摔，处处与你作对，让你的工作无法进行，从而造成极坏的影响。

爱学生就让他全面发展。我们要树立“全人教育”理念。学生在学校的成才，既有系统的专业知识的学习，也包括解决问题能力的训练，更包括优秀道德品质的培育，知识、能力、素质是紧密结合在一起的一个整体，是德智体的全面发展，是整体的素质。这次我的征文题目是《课间可以带玩具吗》，我主要是根据班级发生的一个小事例说明了自己的一点想法。我觉得，玩是孩子们的天性。如果连玩也不让玩，那有什么意思呢？现在的孩子大多是独生子女，在城里，不比乡下，放学后可以在一起玩什么的。回到家，单元楼，房门一关，除了看电视，就是与爸爸妈妈相对而坐。 孩子有与同伴交流的欲望，有了玩具，不能与同伴交流，这让孩子怎么能忍受得了？所以，如果没有影响到学习，我的意见允许带，只要引导得法，也许这也可以是一个很好的教育契机。

三、打磨细节，成就人生

在这里我想介绍一本书。美国超级教师罗恩.克拉克写的《教育的55个细节》，他从自已多年的教学经验中总结出了55个细节，涵盖了生活、学习的方方面面，小到餐桌礼仪，大到积极心态的培养，比如说细节1回答大人的问话要有礼貌。细节2 用眼睛和他人沟通。看起来很细小，但却很有效。有许多学生在他的教导之下改变了自已的人生，成了优秀学者、成功人士。《教育的55个细节》告诉我们，每一个孩子都有其独特的天赋和可塑性，只要你善于引导和培养，“坏”学生也会变成有出息的好孩子。

 经典缘于细节，那细节缘于什么?我想是目标。因为有了目标，你才会去关注细节。一沙一世界，一花一天堂。对于每一个学生，在于他的家庭，对于他自己而言都是全部。小事成就大事，细节成就完美。我们的教育要从小事抓起，在细节上多下功夫，持之以恒，锲而不舍，这样才能培养出高素质的合格的人才

各位家长晚上好，我是六（3）班的班主任。首先，我代表全体任课教师对你们的到来表示感谢！今天你们能够在百忙之中抽出宝贵的时间来参加此次家长会。我也代表你们的孩子感谢大家的到来。因为你们用行动表示了对孩子的关心，对他们来说这就是前进的力量。是啊，哪一位家长不望子成龙？哪一位家长不望女成凤？哪一位老师不希望自己的学生有出息呢？既然家长、老师、学校都有一个共同的愿望，教育好他们，就让我们携起手来，同心协力，把你们的孩子，我们的学生教育好。

今天我们召开这次家长会的目的是为了加强老师与家长之间的联系，相互沟通、交流一下你们孩子在校及在家的情况，共同来关注学生的“学习习惯、学习方法”。以便老师能够及时调整工作，提高教育教学质量，同时使家长也能够积极参与到学生的教育管理中来，使我们的学生，你们的孩子在小学阶段的最后一年中能取得最佳的成绩，以优异的成绩顺利毕业，为进入初中的学习打下扎实的基础。

下面我想就各位家长关心和困惑的问题，与大家交流沟通，同时也提出几点要求，今后对各位家长在教育孩子能有所帮助。

      1、共同关心学生的成绩。考试分数的高低从某种程度上反映出一个学生接受知识的程度。在上周组织的期中考试中，我们可以看出一些同学的成绩情况。本班的学生成绩情况出现了两极分化现象；好的学生很好，班里数学95分以上的同学就有20多个。差的学生非常差，连合格的分数也没有达到。造成这种原因有很多，比如说学习基础知识很差，有一些学生的知识缺陷很多，什么都不懂；还比如说家庭问题，有的家长对孩子的学习非常关心，每天都会问问孩子的学习情况，在校表现情况。当孩子某一方面出现问题时，会寻求各种帮助，及时弥补。而有些家长却不能做到这一点。

除了以上原因，我觉得更主要的还是学习态度、学习方法和学习习惯上的问题。

比如说有的学生的学习态度差，到校不知道要做什么，目的不明确；作业没有认真完成，都是应付性的，就是先玩后，待到临近上学时才匆匆茫茫地做，甚至有抄袭作业的现象，这能有质量吗？学习没有主动积极性，学习好像是老师、家长的事情，需要督促才能完成。学习习惯差，做事、学习都很不专心，丢三落四，马马虎虎，如果没有家长的检查就不能保证作业的质量。小学阶段，父母在身边，还能够督促检查，到了中学，大部分同学需要住校，甚至有些同学会离开常山到外面求学，如果没有很好的自律性，那还怎么得了。

关心，不要只问孩子这次考多少分，用分数来评价自己的孩子，关键看他是怎么学习的。我们先不要看他的结果，要看他的学习过程怎样，是不是正确，会不会学习，方法是否妥当，多多引导。要培养孩子坚韧的性格和毅力，知道学习是需要付出艰苦的努力。要关注孩子对学习的态度，通过各种方法培养他的学习兴趣，增强他的责任感。

2、尽量让孩子接触积极向上的东西。家长要始终同教师保持一致，给教师予积极地配合支持。教师是人不是神，也有缺点。切忌给孩子护短，在孩子面前议论教师的缺点。但可和教师直接沟通。我们十分欢迎各位家长对我们的工作提出意见、建议。给孩子多一点关心：孩子是家庭的未来和希望。再忙也不要忘记给孩子以关爱。家长要采取各种方式切实让孩子感受到你对他的关心。 要经常询问孩子的学习情况，了解他们的所想、所惑；要多倾听孩子的心声，了解他们学习上的困难，并给予帮助。要经常和老师保持联系，了解孩子在校学习情况。

3、给孩子一个正确的评价。应该明确：家长也是教育者。"家长与老师是同事，因为我们共同面对一同样的教育对象。要经常了解孩子的学习态度、学习情况，对有微小进步进行各种诱导性和鼓励性的评价，激励孩子努力上进。

4、要重视孩子的青春期教育。可能有的家长会认为这一点无关紧要。现在的孩子身体长得快，一些本来可能是到初中才会遇到的问题，六年级的学生已经遇到了。对于这方面的知识，你认为孩子不懂嘛，他们通过电视、网络、书籍，已经知道了一些。如果你认为他懂了，事实他一知半解。因此除了学校会根据教学需要对学生进行相关的教育外，希望家长也能够关心这方面的问题。对于这个方面的教育我想可以从以下做起：

要让孩子了解自身身体变化的情况和有关问题，并懂得正确认识和对待这些生理变化。要懂得如何使自已的心理保持健康状态，并养成良好的心理卫生习惯。要学会自我保护，要了了解社会上存在的不良现象，如吸烟、同伴交往等甚至毒品问题，使学生能够自觉抵制社会环境中的不良影响，利用社会环境中的有利条件保护自已的健康成长。要了解一些法律知识。正确使用网络。随着互联网的日益普及，对当代青少年具有很强的冲击力。青少年上网，一方面可以查找信息，获取知识，开拓眼界，另一方面，也可能给处于成长期的他们造成负面影响，"网上垃圾"不仅回消耗青少年大量的时间和精力，更会影响他们的健康成长。

在平时，请家长注意子女平时听看的书籍、报刊、歌曲等，经常与孩子交谈，形成平等民主的家庭氛围，发现异常情况及时与教师联系。注意把子女的独立意向引导到正确的轨道上来，培养辨别是非的能力。

孩子是你们的，他们的问题，你们比我们更清楚更了解。教育好孩子们是你们的心愿，也是我们学校和老师的心愿。希望各位家长能尽量抽时间与孩子们在一起，经常与孩子沟通，培养他们积极乐观的人生态度，善于发现他们的长处，多鼓励，给他们以自信；发现问题要耐心地引导孩子正确地看待自己的不足，共同制订计划帮助他们改正缺点。

   与以往不同，今年我们的县委书记还专门给我们作了一个有关教育的讲座。全县近几千名教师在县剧院聆听了县委书记的讲座。讲座讲得怎么样，也不想去评判。不过，其中的一句话深有感触。

金书记说，教师要学会享受育人的快乐。

的确的，人是有精神追求。正如马斯洛需要理论，人有受人尊重的需要，人有自我实现的需要。优秀的教师能够忍受清贫，最重要的就在于他有这个精神需要。

是的，教师是一门职业。从事这份职业也是为了自己的生存。物质的追求人人需要。当社会上的收入与付出不合理时，我们是埋怨过，痛心过。但是当看到一个个孩子，在自己的帮助下不断地成长，从行为上，从思想上，从学识上……相信的收获的不仅仅是物质，更多的心灵的愉悦。

1、用3个同样大小的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积比原来3个正方体的表面积之和少了64平方厘米，求原来每个正方体的表面积。

2、用3个同样大小的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积比原来3个正方体的表面积之和少了36平方厘米，求原来每个正方体的表面积。

3、用4个同样大小的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积比原来4个正方体的表面积之和少了96平方厘米，求原来每个正方体的表面积。

4、把4块棱长都是3分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少多少平方分米？

5、将表面积分别为24平方厘米、54平方厘米和216平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。

6、有三个正方体铁块，它们的表面积分别是96平方厘米、24平方厘米、150平方厘米，现将这三铁块熔成一个大正方体，求这个正方体的体积。

7、将表面积分别是294平方厘米和216平方厘米的两个正方体熔成一个长方体，已知这个长方体的长是43厘米，宽是13厘米，高是多少厘米？

8、把两块棱长是2分米的正方体铁块熔成一个大长方体，这个长方体的高是4分米，底面是一个正方形，底面边长是多少？

9、用3个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，拼成一个表面积最小的长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？

10、用3个长7厘米、宽5厘米、高2厘米的长方体木块，拼成一个表面积最小的长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？

11、用3个长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，拼成一个表面积最小的长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？

12、用3个长5厘米、宽3厘米、高2厘米的长方体木块，拼成一个大长方体，怎样拼表面积最大？最大是多少平方厘米？

13、将棱长为1米的正方体693个，堆成一个实心的长方体，它的高为7米，长和宽都大于高，问它的长和宽各为多少米？

14、将棱长为1米的正方体2100个，堆成一个实心的长方体，它的高为10米，长和宽都大于高，问它的长和宽各为多少米？

15、将棱长为1分米的正方体420个，堆成一个实心的长方体，它的长为12分米，宽和高都小于长，问它的宽和高各为多少分米？

16、将棱长为1厘米的正方体80个，堆成一个实心的长方体，它的长为8厘米，问它的宽和高各为多少厘米？

17、有一块长32厘米、宽24厘米的长方形铁皮，在这块铁皮的四周各剪下一个边长4厘米的小正方形，然后通过折叠、焊接，做成一个无盖的长方体盒子，这个长方体的容积是多少？

1、把一个正方体平均分成2个长方体，已知每个长方体的表面积是120平方厘米，求原来正方体的表面积。

2、把一个正方体平均分成2个长方体，已知每个长方体的表面积是96平方厘米，求原来正方体的表面积。

3、把一个正方体平均分成3个长方体，已知每个—长方体的表面积是150平方厘米，求原来正方体的表面积。

4、把一个正方体平均分成2个长方体，表面积增加了34平方厘米，求原来正方体的表面积。

5、一个正方体的棱长为16厘米，在一个侧面的中间挖下一个长3厘米、宽3厘米，高16厘米的长方体后，表面积是多少平方厘米？

6、一个长6厘米、宽4厘米、高8厘米的长方体木块中挖去一个棱长为2厘米的正方体的孔。木块现在的面积是多少？

7、有一个棱长是5厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩下的物体的表面积是多少？

8、在一个长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体积木上搭上一个棱长为2厘米的正方体木块，所搭成物体的表面积是多少？

9、有一个正方体棱长是4分米。如果把它切成棱长是1分米的小正方体，这些小正方体的表面积和是多少？

10、把一个棱长是3分米的正方体，切成棱长是1分米的小正方体，这些小正方体的表面积和是多少？

11、有一个长方体，长9厘米，宽6厘米，高5厘米，如果把它锯成棱长是1厘米的小正方体，一共可以锯成多少个？这些小正方体的表面积和是多少？

12、用棱长是1厘米的小正方体摆成一个稍大一些的正方体，至少需要多少个小正方体？如果要摆一个棱长是7厘米的正方体，需要多少个小正方体？

13、一个长方体它的上下面是一个正方形，如果从它的高度方向锯下，刚好可以锯成三个完成一样的正方体，正方体表面积和比原来长方体增加48平方厘米。求原来长方体的表面积。

14、一个长方体，如果从它的高度方向锯掉3厘米的一段，正好得到一个正方体，但表面积减少72平方厘米，原来长方体的表面积是多少？

15、一个立方体的零件，棱长是4厘米，上方有一个深1厘米的正方形凹槽。这个立方体零件的表面积是多少平方厘米？

16、将一个立方体的高增加2厘米，便得到一个长方体，表面积增加96平方厘米。原来立方体的表面积是多少？

17、一个棱长是4分米的立方体木块。如果在左右两面中心挖出一个边长为1分米的正方形贯通洞。现在的表面积是多少？

2004年5月15日，美国国家海洋和大气局顾问、数学爱好者乔希·芬德利(Josh Findley)用一台装有2.4GH_Z奔腾处理器的个人计算机，找到了目前世界上已知最大的梅森素数。该素数为2的24036583次方减1(即2^24036583－1)，它有7235733位数，如果用普通字号将这个数字连续写下来，它的长度可达3万米！它是2000多年来人类发现的第41个梅森素数，也是目前已知的最大素数。世界上许多著名的新闻媒体和科学刊物都对这一消息进行了报道和评介，认为这是数学研究和计算技术中最重要的突破之一。

也许会有人感到奇怪：素数不就是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数吗？在数学和计算机科学高度发达的今天，为什么发现一个已知的最大素数竟如此困难？找到一个已知的最大梅森素数竟成了科学上的大事？是的，魅力无穷的梅森素数具有许多特异的性质和现象，千百年来一直吸引着众多的数学家和数学爱好者对它进行研究；虽然已经揭示了一些规律，但围绕着它仍然有许多未解之谜，等待着人们去探索。

梅森素数的由来

马林·梅森（Marin Mersenne,1588–1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物。他与大科学家伽利略、笛卡尔、费马、帕斯卡、罗伯瓦、迈多治等是密友。虽然梅森致力于宗教，但他却是科学的热心拥护者，在教会中为了保卫科学事业做了很多工作。他捍卫笛卡儿的哲学思想，反对来自教会的批评；也翻译过伽里略的一些著作，并捍卫了他的理论；他曾建议用单摆来作为时计以测量物体沿斜面滚下所需时间，从而使惠更斯发明了钟摆式时钟。

梅森对科学所作的主要贡献是他起了一个极不平常的思想通道作用。17世纪时，科学刊物和国际会议等还远远没有出现，甚至连科学研究机构都没有创立，交往广泛、热情诚挚和德高望众的梅森就成了欧洲科学家之间的联系的桥梁。许多科学家都乐于将成果寄给他，然后再由他转告给更多的人。因此，他被人们誉为“有定期学术刊物之前的科学信息交换站”。梅森和巴黎数学家笛卡儿、费马、罗伯瓦、迈多治等曾每周一次在梅森住所聚会，轮流讨论数学、物理等问题，这种民间学术组织被誉为“梅森学院”，它就是法兰西科学院的前身。

1640年6月，费马在给梅森的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质。我相信它们将成为今后解决素数问题的基础”。这封信讨论了形如2^P－1的数（其中p为素数）。早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究2^P－1的先河，他在名著《几何原本》第九章中论述完美数时指出：如果2^P－1是素数，则2^P－1（2^P－1）是完美数。

梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对2^P－1作了大量的计算、验证工作，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言：对于p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，2^P－1是素数；而对于其他所有小于257的数时，2^P－1是合数。前面的7个数（即2，3，5，7，13，17和19）属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4个数（即31，67，127和257）属于被猜测的部分。不过，人们对其断言仍深信不疑，连大数学家莱布尼兹和哥德巴赫都认为它是对的。

虽然梅森的断言中包含着若干错误（后文详述），但他的工作极大地激发了人们研究2^P－1型素数的热情，使其摆脱作为“完美数”的附庸的地位。可以说，梅森的工作是素数研究的一个转折点和里程碑。由于梅森学识渊博，才华横溢，为人热情以及最早系统而深入地研究2^P－1型的数，为了纪念他，数学界就把这种数称为“梅森数”；并以Mp记之（其中M为梅森姓名的首字母），即Mp=2^P－1。如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”（即2^P－1型素数）。

梅森素数貌似简单，而研究难度却很大。它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且需要进行艰巨的计算。即使属于“猜测”部分中最小的M₃₁=2³¹－1=2147483647，也具有10位数。可以想象，它的证明是十分艰巨的。正如梅森推测：“一个人，使用一般的验证方法，要检验一个15位或20位的数字是否为素数，即使终生的时间也是不够的。”是啊，枯燥、冗长、单调、刻板的运算会耗尽一个人的毕生精力，谁愿让生命的风帆永远在黑暗中颠簸！人们多么想知道梅森猜测的根据和方法啊，然而年迈力衰的他来不及留下记载，四年之后就去世了；人们的希望与梅森的生命一起泯灭在流逝的时光之中。看来，伟人的“猜测”只有等待后来的伟人来解决了。

充满艰辛与乐趣的探索历程

梅森素数就像数学海洋中的一颗璀璨明珠，吸引着一代又一代的研究者去探寻。自梅森提出其断言后，人们发现的已知最大素数几乎都是梅森素数；因此，寻找新的梅森素数的历程也就几乎等同于寻找新的最大素数的历程。而梅森断言为素数而未被证实的几个Mp当然首先成为人们研究的对象。

1772年，瑞士数学家欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了M₃₁是一个素数，它共有10位数，堪称当时世界上已知的最大素数。欧拉的毅力与技巧都令人赞叹不已，他因此获得了“数学英雄”的美誉。这是寻找已知最大素数的先声。欧拉还证明了欧几里得关于完美数的定理的逆定理，即：每个偶完美数都具有形式2^P－1（2^P－1），其中2^P－1是素数。这就使得偶完美数完全成了梅森素数的“副产品”了。欧拉的艰辛给人们提示：在伟人难以突破的困惑面前要想确定更大的梅森素数，只有另辟蹊径了。

100年后，法国数学家鲁卡斯提出了一个用来判别Mp是否是素数的重要定理——鲁卡斯定理。鲁卡斯的工作为梅森素数的研究提供了有力的工具。1883年，数学家波佛辛利用鲁卡斯定理证明了M₆₁也是素数——这是梅森漏掉的。梅森还漏掉另外两个素数：M₈₉和M₁₀₇，它们分别在1911年与1914年被数学家鲍尔斯发现。

1903年，在美国数学学会的大会上，数学家柯尔作了一个一言不发的报告，他在黑板上先算出2⁶⁷－1，接着又算出193707721×761838257287，两个结果相同。这时全场观众站了起来为他热烈鼓掌，这在美国数学学会开会的历史上是绝无仅有的一次。他第一个否定了“M₆₇为素数”这一自梅森断言以来一直被人们相信的结论。这短短几分钟的报告却花了柯尔3年的全部星期天。1922年，数学家克莱契克进一步验证了M₂₅₇并不是素数，而是合数（但他没有给出这一合数的因子，直到20世纪80年代人们才知道它有3个素因子）。

1930年，美国数学家雷默改进了鲁卡斯的工作，给出了一个针对M_p的新的素性测试方法，即鲁卡斯-雷默方法：M_p＞3是素数的充分必要条件是L_p-2=0，其中L₀=4，L_n+1=(L_n－2)ModM_p。这一方法直到今天的“计算机时代”仍发挥重要作用。

“手算笔录时代”，人们历尽艰辛，仅找到12个梅森素数。而计算机的产生使寻找梅森素数的研究者如虎添翼。1952年，数学家鲁滨逊等人将鲁卡斯-雷默方法编译成计算机程序，使用SWAC型计算机在短短几小时之内，就找到了5个梅森素数：M₅₂₁、M₆₀₇、M₁₂₇₉、M₂₂₀₃和M₂₂₈₁。其后，M₃₂₁₇在1957年被黎塞尔证明是素数；M₄₂₅₃和M₄₄₂₃在1961年被赫维兹证明是素数。1963年，美国数学家吉里斯证明M₉₆₈₉和M₉₉₄₁是素数。1963年9月6日晚上8点，当第23个梅森素数M₁₁₂₁₃通过大型计算机被找到时，美国广播公司（ABC）中断了正常的节目播放，以第一时间发布了这一重要消息；发现这一素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲，以致于把所有从系里发出的信件都敲上了“2¹¹²¹³－1是个素数”的邮戳。

1971年3月4日晚，美国哥伦比亚广播公司（CBS）中断了正常节目播放，发布了塔可曼使用IBM360-91型计算机找到新的梅森素数M₁₉₉₃₇的消息。而到1978年10月，世界几乎所有的大新闻机构（包括我国的新华社）都报道了以下消息：两名年仅18岁的美国高中生诺尔和尼科尔使用CYBER174型计算机找到了第25个梅森素数：M₂₁₇₀₁。

随着素数P值的增大，每一个梅森素数M_P的产生都艰辛无比；而各国科学家及业余研究者们仍乐此不疲，激烈竞争。1979年2月23日，当美国克雷研究公司的计算机专家史洛温斯基和纳尔逊宣布他们找到第26个梅森素数M₂₃₂₀₉时，人们告诉他们：在两个星期前诺尔已得到这一结果。为此，史洛温斯基潜心发愤，花了一个半月的时间，使用CRAY-1型计算机找到了新的梅森素数M₄₄₄₉₇。这个记录成了当时不少美国报纸的头版新闻。之后，这位计算机专家乘胜前进，使用经过改进的CRAY-XMP型计算机在1983年至1985年间找到了3个梅森素数：M₈₆₂₄₃、M₁₃₂₀₄₉和M₂₁₆₀₉₁。但他未能确定M₈₆₂₄₃和M₂₁₆₀₉₁之间是否有异于M₁₃₂₀₄₉的梅森素数。而到了1988年，科尔魁特和韦尔什使用NEC-FX2型超高速并行计算机果然捕捉到了一条“漏网之鱼”——M₁₁₀₅₀₃。沉寂4年之后，1992年3月25日，英国原子能技术权威机构——哈威尔实验室的一个研究小组宣布他们找到了新的梅森素数M₇₅₆₈₃₉。1994年1月14日，史洛温斯基和盖奇为其公司再次夺回发现“已知最大素数”的桂冠——这一素数是M₈₅₉₄₃₃。而下一个梅森素数M_1257787仍是他们的成果。这一素数是使用CRAY-794超级计算机在1996年取得的。史洛温斯基由于发现7个梅森素数，而被人们誉为“素数大王”。

使用超级计算机寻找梅森素数的游戏实在太昂贵了。1996年美国数学家及程序设计师乔治·沃特曼编制了一个梅森素数寻找程序，并把它放在网页上供数学家和数学爱好者免费使用；这就是著名的“因特网梅森素数大搜索”（GIMPS）项目。1997年美国数学家及程序设计师斯科特·库尔沃斯基和其他人建立了＂素数网＂（PrimeNet），使分配搜索区间和向GIMPS发送报告自动化。现在只要人们去GIMPS的主页下载那个免费程序，就可以立即参加GIMPS项目来搜寻梅森素数。目前，全球有近７万名志愿者参加该项目，并动用20多万台计算机联网来进行大规模的分布式计算，以寻找新的梅森素数。看来，因特网联通的个人计算机要与高功能的超级计算机在计算技术上一较高低了。从1996年到2004年5月15日，GIMPS项目发现了7个梅森素数：M_1398269、M_2976221、M_3021377、M_6972593、M_13466917、M_20996011和M_24036583，它们都是使用奔腾型计算机得到的结果。

时至今日止，人们已经发现了41个梅森素数，并且确定M_6972593位于梅森素数序列中的第38位。现把它们列表如下：

由上表可见，梅森素数的分布极不规则。我们甚至可以看到，连找到梅森素数的时间分布都极不规则，有时许多年未能找到一个，而有时则一下找到好几个。探索梅森素数的分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。数学家们在长期的摸索中，提出了一些猜想。英国数学家香克斯、美国数学家吉里斯、法国数学家托洛塔和德国数学家伯利哈特就曾分别给出过关于梅森素数分布的猜测，但他们的猜测有一个共同点，就是都以近似表达式给出；而它们与实际情况的接近程度均未尽如人意。中国数学家及语言学家周海中经过多年的研究，于1992年首先给出了梅森素数分布的精确表达式，为人们寻找这一素数提供了方便；后来这一科研成果被国际数学界命名为“周氏猜测”。著名的《科学》杂志上有一篇评论文章指出，这是梅森素数研究中的一项重大突破。

不久前，国际电子新领域基金会（IEFF）宣布了由一位匿名者资助的为通过GIMPS项目来寻找新的更大的梅森素数而设立的奖金。它规定向第一个找到超过一千万位数的个人或机构颁发10万美元。后面的奖金依次为：超过1亿位数，15万美元；超过10亿位数，25万美元。但据悉，绝大多数研究者参与该项目不是为了金钱而是出于乐趣、荣誉感和探索精神。可以相信，梅森素数这颗数海明珠正以其独特的魅力，吸引着更多的有志者去寻找和研究。

梅森素数的意义

自古希腊时代直至17世纪，人们寻找梅森素数的意义似乎只是为了寻找完美数。但自梅森提出其著名断言以来，特别是欧拉证明了欧几里得关于完美数的定理的逆定理以来，完美数已仅仅是梅森素数的一种“副产品”了。

寻找梅森素数在现代已有了十分丰富的意义。寻找梅森素数是发现已知最大素数的最有效的途径，自欧拉证明M₃₁为当时最大的素数以来，在发现已知最大素数的世界性竞赛中，梅森素数几乎囊括了全部冠军。

寻找梅森素数是测试计算机运算速度及其他功能的有力手段。如M_1257787就是1996年9月美国克雷公司在测试其最新超级计算机的运算速度时得到的。梅森素数在推动计算机功能改进方面发挥了独特作用。发现梅森素数不仅仅需要高功能的计算机，它还需要素数判别和数值计算的理论与方法以及高超巧妙的程序设计技术等等，因而它还推动了数学皇后——数论的发展，促进了计算数学、程序设计技术的发展。

由于寻找梅森素数需要多种学科的支持，也由于发现新的“最大素数”所引起的国际影响使得对于梅森素数的研究能力已在某种意义上标志着一个国家的科学技术水平，而不仅仅是代表数学的研究水平。从各国各种传媒（而不仅仅是学术刊物）争相报道新的梅森素数的发现，我们也可清楚地看到这一点。

梅森素数在实用领域也有用武之地。现在人们已将大素数用于现代密码设计领域。其原理是：将一个很大的数分解成若干素数的乘积非常困难，但将几个素数相乘却相对容易得多。在这种密码设计中，需要使用较大的素数，素数越大，密码被破译的可能性就越小。

寻找梅森素数最新的意义是：它促进了分布式计算技术的发展。从最新的7个梅森素数是在因特网项目中发现这一事实，我们已可以想象到网络的威力。分布式计算技术使得用大量个人计算机去做本来要用超级计算机才能完成的项目成为可能；这是一个前景非常广阔的领域。

最后，有必要指出的是：素数有无穷多个，这一点早为欧几里得发现并证得。然而，梅森素数是否有无穷多个？这是目前尚未解决的著名数学难题；而揭开这一未解之谜，正是科学追求的目标。让我们以数学大师希尔伯特的名言来结束本文：“我们必须知道，我们必将知道。”

四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。

       四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”（右图）

       这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。

       四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。

       1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家汉密尔顿爵士请教。汉密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年汉密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。

       1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。

       肯普的证明是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其他国家，或没有三个以上的国家相遇于一点，这种地图就说是“正规的”（左图）。如为正规地图，否则为非正规地图（右图）。一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系在一起，但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色，如果有一张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五色的，要证明四色猜想成立，只要证明不存在一张正规五色地图就足够了。

       肯普是用归谬法来证明的，大意是如果有一张正规的五色地图，就会存在一张国数最少的“极小正规五色地图”，如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六个，就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的，这样一来就不会有极小五色地图的国数，也就不存在正规五色地图了。这样肯普就认为他已经证明了“四色问题”，但是后来人们发现他错了。

       不过肯普的证明阐明了两个重要的概念，对以后问题的解决提供了途径。第一个概念是“构形”。他证明了在每一张正规地图中至少有一国具有两个、三个、四个或五个邻国，不存在每个国家都有六个或更多个邻国的正规地图，也就是说，由两个邻国，三个邻国、四个或五个邻国组成的一组“构形”是不可避免的，每张地图至少含有这四种构形中的一个。

       肯普提出的另一个概念是“可约”性。“可约”这个词的使用是来自肯普的论证。他证明了只要五色地图中有一国具有四个邻国，就会有国数减少的五色地图。自从引入“构形”，“可约”概念后，逐步发展了检查构形以决定是否可约的一些标准方法，能够寻求可约构形的不可避免组，是证明“四色问题”的重要依据。但要证明大的构形可约，需要检查大量的细节，这是相当复杂的。

       11年后，即1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。他指出肯普说没有极小五色地图能有一国具有五个邻国的理由有破绽。不久，泰勒的证明也被人们否定了。人们发现他们实际上证明了一个较弱的命题——五色定理。就是说对地图着色，用五种颜色就够了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。

       进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，美国著名数学家、哈佛大学的伯克霍夫利用肯普的想法，结合自己新的设想；证明了某些大的构形可约。后来美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。

       高速数字计算机的发明，促使更多数学家对“四色问题”的研究。从1936年就开始研究四色猜想的海克，公开宣称四色猜想可用寻找可约图形的不可避免组来证明。他的学生丢雷写了一个计算程序，海克不仅能用这程序产生的数据来证明构形可约，而且描绘可约构形的方法是从改造地图成为数学上称为“对偶”形着手。

       他把每个国家的首都标出来，然后把相邻国家的首都用一条越过边界的铁路连接起来，除首都(称为顶点)及铁路(称为弧或边)外，擦掉其他所有的线，剩下的称为原图的对偶图。到了六十年代后期，海克引进一个类似于在电网络中移动电荷的方法来求构形的不可避免组。在海克的研究中第一次以颇不成熟的形式出现的“放电法”，这对以后关于不可避免组的研究是个关键，也是证明四色定理的中心要素。

       电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。美国伊利诺大学哈肯在1970年着手改进“放电过程”，后与阿佩尔合作编制一个很好的程序。就在1976年6月，他们在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明，轰动了世界。

       这是一百多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事，当两位数学家将他们的研究成果发表的时候，当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了“四色足够”的特制邮戳，以庆祝这一难题获得解决。

       “四色问题”的被证明仅解决了一个历时100多年的难题，而且成为数学史上一系列新思维的起点。在“四色问题”的研究过程中，不少新的数学理论随之产生，也发展了很多数学计算技巧。如将地图的着色问题化为图论问题，丰富了图论的内容。不仅如此，“四色问题”在有效地设计航空班机日程表，设计计算机的编码程序上都起到了推动作用。

       不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。直到现在，仍由不少数学家和数学爱好者在寻找更简洁的证明方法。

教学目标：1、使学生理解质数（素数）和合数的意义，知道它们之间的联系和区别，并能判断一个数是质数还是合数。2、培养学生的观察、比较、分类和归纳概括能力。3、介绍科学家故事，激发学生爱科学、爱祖国的情感。

教学重点：质数与合数的意义。

教学难点：质数、合数与奇数、偶数的区别与联系。

教学过程：

一、创设情境，提出问题

1、每个正方形的边长为1，用3个这样的小正方形，你能拼出几个不同形状的长方形？这样的四个小正方形能拼出几个不同的长方形呢？如果用12个小正方形呢？是不是个数越多，拼的个数也越多？当小正方形的个数在怎样的情况下，只能拼出一个长方形？

2、完成表格

你发现什么？（拼成长方形的个数与这个数的约数的个数有关）

3、根据约数的个数我们把自然数进行分类。这就是今天我们要学习的内容。

二、新授

1、引导探究，建立概念

（1）说出1～13约数（边说边板书）

（2）请同学们观察这些数的约数，提出问题：根据约数的多少可以把它们分成哪几类？（小组讨论）

有1个约数的：1

有2个约数的：2、3、5、7、11、13

有2个以上约数的：4、6、8、9、10、12

2、归纳特点，概括定义

（1）2、3、5、7、11、13是质数，4、6、8、9、10、12是合数，对照比较，两个约数有什么特点？

下面请同学们想一想，议一议，什么是质数？什么是合数？

（2）讨论以后汇报

①一个数如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（素数）。

②一个数如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。

③问：1是质数还是合数？为什么？1既不是质数，也不是合数。

（3）自然数中是不是除了质数就是合数？

（4）想一想，最小的质数是几？最小的合数是几？有没有最大的质数？

3、教学例题目

（1）出示例题，下面各数，哪些是质数？哪些是合数？

2、17、21、29、35、44

思考：怎么样判断？

（2）你能找到几种判断的方法？

（3）谁能一眼就看出44是合数？为什么？

依次出示15、17、27、50、81、111进行判断

4、学习“筛选法”

（1）判断一个数是不是质数，古代的数学家有一种巧妙的办法，你们想不想试一试？

（2）投影屏幕划出部分数的方法及剩下的数

（3）向学生介绍这种叫“筛选法”，古代的数学家就是用这种方法找质数。

（4）出示100以内的质数表。

（5）是不是所有的质数都是奇数？2是偶数，又是最小的质数，也是唯一的偶质数。

三、巩固练习

1、练一练。

2、判断下面的数是质数还是合数，为什么？

①17、21、29、48

②2138135    10000032

③1       73

3、猜八位数电话号码（1）最大的一位偶数，（2）最小的质数，（3）最大一位数，

（4）最小的即是质数，又是奇数，（5）最小的合数，（6）10以内最大的质数，（7）即是奇数，又是合数的一位数，（8）既不质数，也是合数。

4、介绍二百多年前，德国有一位名叫哥德巴赫的数学家。他发现任何一个大于４的偶数，都可以写成两个质数的和。例如：６＝３＋３，10 ＝３＋７，12＝５＋７......因为这个问题他还没有证明出来，人们把它称为哥德巴赫猜想。我国的数学家陈景润已经证明了任何一个充分大的偶数都可以表示为一个质数加上两个质数的积。例如：８＝２＋２×３，20＝５＋３×５......这称为陈氏定理，在国际数学界引起了强烈的反响。但彻底证明哥德巴赫猜想还差最后一步，这最后一步称为数学皇冠上的明珠

四、全课总结

这节课你学会了什么？什么样的数叫质数？什么样的数叫合数？你会判断质数、合数吗？判断的关键是什么？

五、作业

 作业本

教学要求 教学目标 使学生初步掌握能被3整除的数的特征，能正确判断一个数能被3整除的数的特征，培养学生抽象、概括的能力。

教学重点  能被3整除的数的特征。

教学难点  会判断一个数能否被3整除。

教学过程

一、创设情境

１、能被2、5整除的数有什么特征？

２、能同时被2 和5整除的数有什么特征？

二、揭示课题

现在我们就来学习和研究能被3整除的数的特征（板书课题）

三、探索研究

1．小组合作学习---能被3整除的数的特征。

（1）思考并回答：①什么样的数能被3整除？②要想研究能被3整除的数的特征，应该怎样做？

（2）活动：先画一张数位顺序表。用不同个数的小圆代表数字。通过在数位顺序表写，发现各个数位的数的和是3的倍数，就一定能被3整除。如：共3个圆片，在百位放1个，十位放1个，个位放1个代表111，在三位放2个，个位放一个代表201。

（3）检验：由学生和老师任意报一个较大的数让学生检验观察它的特征。

四、课堂实践

1、练一练

2、如果以下各数都能被3整除，那么□时可以填几？

25□      4□7     30□51

3、灵活应用

369怎样能快速判断出来？   361呢？54276  126945

师：除了可以特征来判断以外，还可以根据数的特点来灵活应用。

五、课堂小结、作业。

学生小结今天学习的内容。

课堂作业

六、思考练习

教学要求 ①使学生初步掌握能被2、5整除的数的特征，会正确判断一个数是否能被2、5整除。

②使学生知道奇数、偶数的概念。

③培养学生判断、推理能力。

教学重点  掌握能被2、5整除数的特征，理解奇数、偶数的概念。

教学难点  掌握能被2 和5 同时整除的数的特征。

教学过程 

一、创设情境

1、请你说出整除、约数和倍数的含义。

2、38970这个数能否被2、5整除？你是怎样判断的？

师：要判断一个数是否能被另一个数整除，可根据整除的含义进行判断，但比较慢，我们可以根据数的特征来进行判断，今天我们就来学习能被2、5整除的数的特征。（板书课题）

二、探索研究

1、学习能被2、5整除数的特征

（1）学生写出几个能被2、5整除的数。

（2）观察：看他们有什么特征，如观察有困难，可作提示：看他们的个位有什么特征。

（3）特征：让学生说出观察的特征。（板书）

（4）检验：让学生说出几个较大的数对观察的结果进行检验看是否正确。

2、自学----奇数和偶数。

（1）翻开书第36页看“能被2整除的……”以及“注意”。

（2）让学生举例分别说出几个奇数和偶数。

（3）比较奇数和偶数个位的特征。（让学生填）

①偶数的个位上是： 0、2、4、6、8、。

②奇数的个位上是： 1、3、5、7、9、。

三、巩固练习：

1、根据这一特征你能随意写出能被2整除或能被5整除的整数吗？既能被2整除又能被5整除的整数特征又是什么？课堂实践

2、练一练

3、猜猜(填奇数、偶数)

偶数+偶数=     奇数+偶数=      偶数－偶数=    奇数－偶数=

偶数－奇数=    偶数×偶数=     奇数×偶数=

举例

四、课堂小结

学生小结今天学习的内容。

五、课堂作业

写出3个能被5整除的奇数和3个能被5整除的偶数。

教学目标1、 使学生会找出一个数的约数的方法，能正确、便捷地找出一个的约数。2、学会找出一个数的倍数的方法，能正确地找出一个数的一些倍数。

教学重点、难点：使学生掌握找出一个数的约数、倍数的方法。

教学过程      

一、复习准备

1、口答下面哪能组数中，谁能被谁整除？为什么？

（1）12和4   （2）12和0.4 （3）12和5   （4）12和12    （5）1和18

2、说出上面整除中哪个数是哪个数的倍数？哪个数是哪个数的约数？什么叫做约数和倍数？再请举例说明。

二、新课教学

（一）找约数

1、根据12÷4＝3这个算式，你可以看出12除了有约数4以外，你还能知道12还有约数吗？

师：你是怎么知道的？

师：根据一个除法算式可以找到一个数的几个约数？

2、你会用找整除（或乘法）算式的方法找一个数的所有的约数吗？

3、出示例题：18、24和30的约数有哪几个？

师：⑴要找18的约数，先想什么？

⑵你找到了哪些能整除的算式？只要找到哪几个能整除的算式就可以了？

⑶根据这三个算式可以看出18的约数有哪几个？还有吗？（板书）

4、你还其它方法来找到一个数的所有约数吗？（根据乘法口诀一对一对地找）

师：用这种方法找出24、30的全部约数

5、我们已经找很多数的约数了，请同学们看一看这些数的约数，想一想：一个数的约数有什么特点？

板书：一个数的约数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身。

6、自学课本33页，看书上是怎么说的。      

（二）找倍数

1、出示：3的倍数有哪些？

2、师：⑴要找3的倍数先想什么？⑵什么样的数能被3整除？⑶那么3的倍数有哪些？按什么顺序找既快又对？能全部找出来吗？

3、用这种方法找出5和7的倍数

4、观察刚才找的这几个数的倍数，你能看出一个数的倍数有什么特点吗？

板书：一个数的倍数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。      

三、课堂练习：练一练

四、全课总结      

今天我们学习了什么知识？你学会了哪些知识？一个数的约数有什么特点？一个数的倍数有什么特点？   

五、作业

作业本

教学目标：

1、使学生理解整除的意义，弄清“除尽”和“整除”的关系；理解和掌握约数和倍数的意义。

2、会判断整除算式，能根据约数和倍数的意义表述两个数之间的关系，培养学生会进行初步的观察、比较、分析、判断、概括的能力。

3、渗透初步的辩证唯物主义思想教育；并通过各种方式，激发学生的交流、对话的意识，积极探索的精神，从而树立学好数学的自信心。

教学重点：理解和掌握整除的意义、约数和倍数的意义。 

教学过程：

一、引入新课。

1、 创境：同学们，生活中经常会遇见分类的情况，比如把今天教室里的所有人进行分类，该如何分呢？

2、导入：出示  15÷3＝5    4.5÷1.5＝3   23÷7＝3……2   6÷5＝1.2

19÷3＝6……1    24÷2＝12       22÷11＝2       1.6÷4＝0.4

 提出要求：你能把这些除法算式也分一分类吗？

3、汇报交流，并说明理由。

4、这些除尽的算式还可以再分一分类吗？

二、教学新课。

（一）教学整除。

1、观察特点。

请同学们仔细观察黑板上右边3个除法算式里的被除数、除数和商或结果，它们有什么特殊的地方？

2、揭示概念。 

① 学生小结：被除数是整数、除数是整数，商是整数而且没有余数。

教师：当被除数、除数、商都是整数而且没有余数时，就是一个整除算式。（板书：整除）

追问：整除的算式有什么特点？ “除尽”和“整除”有什么关系？

②提问：你能再举出一道整除的算式吗？（板书学生的举例，）

  设疑：整除的算式太多了，能想个办法把大家的整除算式概括成一个整除算式吗？

  启发：如果被除数用a表示，除数用b表示，商用c表示，可以怎么表示这个整除算式？ 根据学生回答，板书：a÷b=c

追问：在这个整除算式中a、b、c 为任何整数都行吗？（板书：b≠0）

③揭示：当a、b、c都是整数而且没有余数时就是一个整除算式，我们就说：a能被b整除，b能整除a（强调） 。

3、叙述概念。

①举例说说：按照a能被b整除的意义，在15 ÷ 3＝5中哪个数能被哪个数整除？还可以怎么说？

②组织学生说黑板上板书的其它整除算式。

（二）教学约数和倍数。

1、布置自学。

师：当数a能被数b整除后，a和b就产生了一种关系，是什么关系呢？请同学们自学课本第31页倒数第7~8行。 

2、交流：如果a能被b整除，b能整除a，那么我们就说a叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。（板书： a是b的倍数， b是a的约数）

3、师举例说明：15÷3＝5，因为15能被3整除，我们就说：15是3的倍数，3是15的约数。

抽学生叙述其他算式。

4、追问：①在什么情况下才可以说a是b的倍数，b是a的约数 ？

②因为22能被11整除，所以22是倍数，11是约数对吗？应该怎么说？为什么？

强调：表示两个数之间的关系，一定要说谁是谁的倍数，谁是谁的约数。约数和倍数是相互依存的。如果只说谁是倍数，或谁是约数是错误的。

5、组织学生说其他算式。（变换形式 ）

6、交流练习：    在2、3、4、6中，（   ）能被（   ）整除，

（   ）是（   ）的倍数

（   ）是（   ）的约数

（三）新课小结 ：通过今天的学习，你有什么收获呢？你还有什么问题？

三、练习

1、下面的数，哪一组的第一个数能被第二个数整除？

   29和3    1.2和0.4   36和12

2、下面的每数一组中，哪一个数是另一个数的约数，哪一个数是另一个数的倍数？

   16和2     4和24    72和8    140和20

3、下面的说法对吗？说出理由。

  （1）因为36÷9＝4，所以36是倍数，9是约数。

  （2）57是3的倍数。

     1是1，2，3，4，5，…的约数

4、下面的数，哪些是60的约数，哪些是6的倍数？

3    4   12   16   24   60

教学目的：使学生理解长方体和正方体的表面积的概念，在理解概念的基础上初步学会求长方体表面积的计算方法；发展学生的空间观念,培养学生概括、推理的能力。

教学过程:

一、复习导入

谈话：出示长方体，如果想把这件礼物包装一下，你觉得需要知道什么？

师：在生活中我们有时需要知道长方体或者正方体6个面的总面积，这就叫长方体或正方体的表面积。（板书：长方体或正方体的表面积）

师：要求出长方体或正方体的表面积，你觉得要知道什么？

二、新课教学

1、教学长方体的表面积

教师出示长方体透视图。

长方体有几个面?每个面是什么形状?面与面有什么特点？

说说各个面的长与宽。

提问：什么是长方体的表面积？想一想，要计算长方体的表面积必须先算出哪些面积？

出示例1

学生读题,找出条件和问题。

提问:求这个木箱的表面积是多少实际就是求什么？（六个面的面积）

那我们可以怎么想呢?

引导学生列出算式:8×5×2+8×4×2+5×4×2

提问:8×5×2、8×4×2、5×4×2分别求的什么?

学生回答,教师边在算式下标明上下、前后、左右，接着，让学生检查一下？有没有漏算或者重复计算的面,然后让学将完成例题。

提问：这道题还可以怎么列式呢?

同桌同学讨论，解答。教师巡视。

指名汇报算式：（8×5+8×4+5×4）×2。

提问：问什么先算3个面的面积和再乘以2？

学生用以长方体教具演示帮助学生回答，然后，将黑板上的原长方体的展开图的前、下、右面裁下，与左、上、后面进行重叠，帮助学生弄清道理。

提问：这两种计算方法有什么不同？又有什么联系？（第一种方法是先分别算出上下、前后、左右面的面积，然后再加起来。第二种方法，算出前面、右面、下面的面积再乘以2。第二种方法是第一种方法根据乘法分配律变成的。）

提问：哪一种方法更简便？（第二种）

教师小结：计算长方体的表面积，最关键的事要正确找出3组面中每个面的长和宽。

完成练一练第1题。

你还有什么方法？如果有两个面是正方形，那么其它四个面都是一样的。

2、立方体表面积计算

独立完成试一试，说说立方体表面积计算方法是怎样的？

三、课堂练习

完成练一练

四、全课总结

长方体或者正方体的6个面的总面积，叫做它的表面积。要计算长方体的表面积，关键是要准确找到每个面的长和宽。

五、布置作业

作业本

六、课外延伸：

1、用两个同样大的正方体小木块拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来两个小正方体表面积的和大还是小？为什么？

2、一个长方体的上下两个面都是正方形，表面积是224平方厘米，正好能截成体积相等的三个立方体，每个立方体的表面积是（ ）平方厘米。

教学目标：使掌握常用的体积单位之间的进率和名数的改写。

教学重点：体积单位之间的进率。

教学过程

一、创设情境

填空：①长方体体积=       ；②常用的体积单位有   、   、   ；

③正方体体积=        。

师：你知道每相邻的两个体积单位之间的进率是多少吗？今天我们就学习体积单位间的进率。（板书课题）

二、探索研究

1．小组学习——体积单位间的进率。

（1）出示：1个棱长是1分米的正方体模型教具。

提问：①当正方体的棱长是1分米时，它的体积是多少？②当正方体的棱长是10厘米时，它的体积是多少？③而1分米是多少厘米？1立方分米等于多少立方厘米？

小组合作填表：

小组汇报结论：1立方分米=1000立方厘米

同理得出：1立方米=1000立方分米

用填空的形式小结：

从上面可以看出，相邻两个体积单位之间的进率都是      。

（2）．将长度单位、面积单位、体积单位加以比较

比较这三类单位相邻两个单位间的进率有什么不同？为什么？

（3）学习体积单位名数的改写。

先思考：

（1）怎样把高一级的体积单位的名数改写成低一级的体积单位的名数？

（2）怎样把低一级的体积单位的名数改写成高一级的体积单位的名数？

出示例3，并写成如下形式：

0.65立方米=（  ）立方分米   480立方厘米=（  ）立方分米

出示例4，

学生独立思考，再小组讨论自己是怎样想和做的。

教师针对出现的问题重点讲解。

解法一：

1.8×1.5×0.01=0.027（立方米）    0.027立方米=27立方分米

解法二：

1.8米=18分米 1.5米=15分米 0.01米=0.1分米

18×15×0.1=27（立方分米）

三、课堂实践

将练一练完成，老师进行个别辅导后订正。

四、课堂小结。学生小结今天学习的内容。

五、课后作业

教学目标：使学生理解长方体和正方体体积的计算公式，初步学会计算长方体和正方体的体积，培养学生实际操作能力，同时发展他们的空间观念。

教学重点  长方体、正方体体积公式的推导。

教学过程

一、创设情境

1、下图是有棱长为1厘米的正方体拼成的，你能知道些什么？

（可以知道（1）长、宽、高；（2）体积，重点让学生说说你是怎样想到的）

师：我们已经知道计量一个物体的体积，要看这个物体含有多少个体积单位，那么怎样计算任意一个长方体、正方体的体积？这节课我们就来学习长方体、正方体体积的计算方法。（板书课题）

二、实践探索

1．小组学习------长方体体积的计算。

实验：师生都拿出准备好的12个1立方厘米的小正方块，摆成长方体。

完成表格：

通过上面的实验，你发现了什么？（可让学生分小组讨论）长方体的长、宽、高不同，即形状不同而体积相同。

结论：长方体的体积=长×宽×高。

用字母表示：V　=　a×b×h=abh

应用：出示例1，让学生独立解答。

2．小组学习——正方体体积的计算。

思考并回答：长方体和正方体有什么关系？正方体的体积该怎样计算呢？

结论：正方体的体积=棱长×棱长×棱长

用字母表示为：V=a³

说明：a×a×a可以写成a³，读作：a的立方。

应用：出示例2，让学生独立做后订正。

三、课堂实践

1．做第16页的“练一练”的第1题。

（1）先让学生标出每个长方体的长、宽、高。

（2）再根据公式算出它们各自的体积。

（3）集体订正。

2、做第2、3、5、6题。

3、自学书本16页

长方体、立方体的底面积如何计算？

统一体积计算公式。

四、课堂小结

五、课后实践

一个长40厘米的长方体沿横截面截成两个小长方体，表面积增加16平方厘米，原来长方体的体积是多少？

教学目标： 通过实验观察，使学生理解体积的含义，认识常用的体积单位：立方米、立方分米、立方厘米，同时发展学生的空间观念和培养学生的推理能力。

教学重点  体积的含义和常用的体积单位。

教学过程

一、揭示课题

我们已经学习了长方体和正方体，掌握了长方体和正方体的表面积计算方法，这节课我们将继续学习和研究长方体和正方体的一些知识。

二、探索研究

1．实验观察

观察（1）：把一块石头放入有红色水的玻璃杯中，水位有什么变化？这是为什么？

观察（2）：这只杯子里装满了细沙，现在把细沙倒出来放在一边，取一块木块放入杯子里，再把刚才倒出来的沙装回到杯子里，你发现了什么情况？为什么？

观察（3）：在（1）中把石块换成小一点的，你观察到什么？为什么？

图片观察：出示课本上的墨水盒、电冰箱、水果箱，哪一个物体所占的空间大？

结论：物体所占空间的大小叫做物体的体积。（板书课题：体积）

加深理解：（1）你知道什么是长方体和正方体的体积？（2）你能说出身边的哪些物体的体积较大？哪些物体的体积较小？

2．教学体积单位。

教师引导学生回忆长度单位、面积单位，猜一猜，体积有哪些单位？

（1）介绍体积单位。

常用的体积单位有：立方米、立方分米、立方厘米。

（2）1立方米、1立方分数、1 立方厘米的体积各有多大。

1立方厘米：①让学生拿出1立方厘米的小正方体并量出它的棱长。②看看我们身边的什么的体积大约1立方厘米。

1立方分米：出示一个棱长1分米的正方体，你知道它的体积是多少吗？我们生活中的哪些物体的体积大约1立方分米。

1立方米：出示1立方米的木条棱架，让同学们上来看一下1立方米的体积的大小。我们生活中，哪些物体的体积大约1立方米？

（3 ）建立表象，感知大小

练一练第2题

3．长度单位、面积单位、体积单位的联系与区别。

练一练第一题，让学生说。

4、练一练3、4题

四、课堂小结

学生小结今天学习的内容。文章引用自：

三、课后实践

做练一练的第5题，让学生拿出准备好的24个小正方体先摆后说。