各位家长晚上好，我是六（3）班的班主任。首先，我代表全体任课教师对你们的到来表示感谢！今天你们能够在百忙之中抽出宝贵的时间来参加此次家长会。我也代表你们的孩子感谢大家的到来。因为你们用行动表示了对孩子的关心，对他们来说这就是前进的力量。是啊，哪一位家长不望子成龙？哪一位家长不望女成凤？哪一位老师不希望自己的学生有出息呢？既然家长、老师、学校都有一个共同的愿望，教育好他们，就让我们携起手来，同心协力，把你们的孩子，我们的学生教育好。

今天我们召开这次家长会的目的是为了加强老师与家长之间的联系，相互沟通、交流一下你们孩子在校及在家的情况，共同来关注学生的“学习习惯、学习方法”。以便老师能够及时调整工作，提高教育教学质量，同时使家长也能够积极参与到学生的教育管理中来，使我们的学生，你们的孩子在小学阶段的最后一年中能取得最佳的成绩，以优异的成绩顺利毕业，为进入初中的学习打下扎实的基础。

下面我想就各位家长关心和困惑的问题，与大家交流沟通，同时也提出几点要求，今后对各位家长在教育孩子能有所帮助。

      1、共同关心学生的成绩。考试分数的高低从某种程度上反映出一个学生接受知识的程度。在上周组织的期中考试中，我们可以看出一些同学的成绩情况。本班的学生成绩情况出现了两极分化现象；好的学生很好，班里数学95分以上的同学就有20多个。差的学生非常差，连合格的分数也没有达到。造成这种原因有很多，比如说学习基础知识很差，有一些学生的知识缺陷很多，什么都不懂；还比如说家庭问题，有的家长对孩子的学习非常关心，每天都会问问孩子的学习情况，在校表现情况。当孩子某一方面出现问题时，会寻求各种帮助，及时弥补。而有些家长却不能做到这一点。

除了以上原因，我觉得更主要的还是学习态度、学习方法和学习习惯上的问题。

比如说有的学生的学习态度差，到校不知道要做什么，目的不明确；作业没有认真完成，都是应付性的，就是先玩后，待到临近上学时才匆匆茫茫地做，甚至有抄袭作业的现象，这能有质量吗？学习没有主动积极性，学习好像是老师、家长的事情，需要督促才能完成。学习习惯差，做事、学习都很不专心，丢三落四，马马虎虎，如果没有家长的检查就不能保证作业的质量。小学阶段，父母在身边，还能够督促检查，到了中学，大部分同学需要住校，甚至有些同学会离开常山到外面求学，如果没有很好的自律性，那还怎么得了。

关心，不要只问孩子这次考多少分，用分数来评价自己的孩子，关键看他是怎么学习的。我们先不要看他的结果，要看他的学习过程怎样，是不是正确，会不会学习，方法是否妥当，多多引导。要培养孩子坚韧的性格和毅力，知道学习是需要付出艰苦的努力。要关注孩子对学习的态度，通过各种方法培养他的学习兴趣，增强他的责任感。

2、尽量让孩子接触积极向上的东西。家长要始终同教师保持一致，给教师予积极地配合支持。教师是人不是神，也有缺点。切忌给孩子护短，在孩子面前议论教师的缺点。但可和教师直接沟通。我们十分欢迎各位家长对我们的工作提出意见、建议。给孩子多一点关心：孩子是家庭的未来和希望。再忙也不要忘记给孩子以关爱。家长要采取各种方式切实让孩子感受到你对他的关心。 要经常询问孩子的学习情况，了解他们的所想、所惑；要多倾听孩子的心声，了解他们学习上的困难，并给予帮助。要经常和老师保持联系，了解孩子在校学习情况。

3、给孩子一个正确的评价。应该明确：家长也是教育者。"家长与老师是同事，因为我们共同面对一同样的教育对象。要经常了解孩子的学习态度、学习情况，对有微小进步进行各种诱导性和鼓励性的评价，激励孩子努力上进。

4、要重视孩子的青春期教育。可能有的家长会认为这一点无关紧要。现在的孩子身体长得快，一些本来可能是到初中才会遇到的问题，六年级的学生已经遇到了。对于这方面的知识，你认为孩子不懂嘛，他们通过电视、网络、书籍，已经知道了一些。如果你认为他懂了，事实他一知半解。因此除了学校会根据教学需要对学生进行相关的教育外，希望家长也能够关心这方面的问题。对于这个方面的教育我想可以从以下做起：

要让孩子了解自身身体变化的情况和有关问题，并懂得正确认识和对待这些生理变化。要懂得如何使自已的心理保持健康状态，并养成良好的心理卫生习惯。要学会自我保护，要了了解社会上存在的不良现象，如吸烟、同伴交往等甚至毒品问题，使学生能够自觉抵制社会环境中的不良影响，利用社会环境中的有利条件保护自已的健康成长。要了解一些法律知识。正确使用网络。随着互联网的日益普及，对当代青少年具有很强的冲击力。青少年上网，一方面可以查找信息，获取知识，开拓眼界，另一方面，也可能给处于成长期的他们造成负面影响，"网上垃圾"不仅回消耗青少年大量的时间和精力，更会影响他们的健康成长。

在平时，请家长注意子女平时听看的书籍、报刊、歌曲等，经常与孩子交谈，形成平等民主的家庭氛围，发现异常情况及时与教师联系。注意把子女的独立意向引导到正确的轨道上来，培养辨别是非的能力。

孩子是你们的，他们的问题，你们比我们更清楚更了解。教育好孩子们是你们的心愿，也是我们学校和老师的心愿。希望各位家长能尽量抽时间与孩子们在一起，经常与孩子沟通，培养他们积极乐观的人生态度，善于发现他们的长处，多鼓励，给他们以自信；发现问题要耐心地引导孩子正确地看待自己的不足，共同制订计划帮助他们改正缺点。

   与以往不同，今年我们的县委书记还专门给我们作了一个有关教育的讲座。全县近几千名教师在县剧院聆听了县委书记的讲座。讲座讲得怎么样，也不想去评判。不过，其中的一句话深有感触。

金书记说，教师要学会享受育人的快乐。

的确的，人是有精神追求。正如马斯洛需要理论，人有受人尊重的需要，人有自我实现的需要。优秀的教师能够忍受清贫，最重要的就在于他有这个精神需要。

是的，教师是一门职业。从事这份职业也是为了自己的生存。物质的追求人人需要。当社会上的收入与付出不合理时，我们是埋怨过，痛心过。但是当看到一个个孩子，在自己的帮助下不断地成长，从行为上，从思想上，从学识上……相信的收获的不仅仅是物质，更多的心灵的愉悦。

1、用3个同样大小的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积比原来3个正方体的表面积之和少了64平方厘米，求原来每个正方体的表面积。

2、用3个同样大小的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积比原来3个正方体的表面积之和少了36平方厘米，求原来每个正方体的表面积。

3、用4个同样大小的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积比原来4个正方体的表面积之和少了96平方厘米，求原来每个正方体的表面积。

4、把4块棱长都是3分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少多少平方分米？

5、将表面积分别为24平方厘米、54平方厘米和216平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。

6、有三个正方体铁块，它们的表面积分别是96平方厘米、24平方厘米、150平方厘米，现将这三铁块熔成一个大正方体，求这个正方体的体积。

7、将表面积分别是294平方厘米和216平方厘米的两个正方体熔成一个长方体，已知这个长方体的长是43厘米，宽是13厘米，高是多少厘米？

8、把两块棱长是2分米的正方体铁块熔成一个大长方体，这个长方体的高是4分米，底面是一个正方形，底面边长是多少？

9、用3个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，拼成一个表面积最小的长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？

10、用3个长7厘米、宽5厘米、高2厘米的长方体木块，拼成一个表面积最小的长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？

11、用3个长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，拼成一个表面积最小的长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？

12、用3个长5厘米、宽3厘米、高2厘米的长方体木块，拼成一个大长方体，怎样拼表面积最大？最大是多少平方厘米？

13、将棱长为1米的正方体693个，堆成一个实心的长方体，它的高为7米，长和宽都大于高，问它的长和宽各为多少米？

14、将棱长为1米的正方体2100个，堆成一个实心的长方体，它的高为10米，长和宽都大于高，问它的长和宽各为多少米？

15、将棱长为1分米的正方体420个，堆成一个实心的长方体，它的长为12分米，宽和高都小于长，问它的宽和高各为多少分米？

16、将棱长为1厘米的正方体80个，堆成一个实心的长方体，它的长为8厘米，问它的宽和高各为多少厘米？

17、有一块长32厘米、宽24厘米的长方形铁皮，在这块铁皮的四周各剪下一个边长4厘米的小正方形，然后通过折叠、焊接，做成一个无盖的长方体盒子，这个长方体的容积是多少？

1、把一个正方体平均分成2个长方体，已知每个长方体的表面积是120平方厘米，求原来正方体的表面积。

2、把一个正方体平均分成2个长方体，已知每个长方体的表面积是96平方厘米，求原来正方体的表面积。

3、把一个正方体平均分成3个长方体，已知每个—长方体的表面积是150平方厘米，求原来正方体的表面积。

4、把一个正方体平均分成2个长方体，表面积增加了34平方厘米，求原来正方体的表面积。

5、一个正方体的棱长为16厘米，在一个侧面的中间挖下一个长3厘米、宽3厘米，高16厘米的长方体后，表面积是多少平方厘米？

6、一个长6厘米、宽4厘米、高8厘米的长方体木块中挖去一个棱长为2厘米的正方体的孔。木块现在的面积是多少？

7、有一个棱长是5厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩下的物体的表面积是多少？

8、在一个长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体积木上搭上一个棱长为2厘米的正方体木块，所搭成物体的表面积是多少？

9、有一个正方体棱长是4分米。如果把它切成棱长是1分米的小正方体，这些小正方体的表面积和是多少？

10、把一个棱长是3分米的正方体，切成棱长是1分米的小正方体，这些小正方体的表面积和是多少？

11、有一个长方体，长9厘米，宽6厘米，高5厘米，如果把它锯成棱长是1厘米的小正方体，一共可以锯成多少个？这些小正方体的表面积和是多少？

12、用棱长是1厘米的小正方体摆成一个稍大一些的正方体，至少需要多少个小正方体？如果要摆一个棱长是7厘米的正方体，需要多少个小正方体？

13、一个长方体它的上下面是一个正方形，如果从它的高度方向锯下，刚好可以锯成三个完成一样的正方体，正方体表面积和比原来长方体增加48平方厘米。求原来长方体的表面积。

14、一个长方体，如果从它的高度方向锯掉3厘米的一段，正好得到一个正方体，但表面积减少72平方厘米，原来长方体的表面积是多少？

15、一个立方体的零件，棱长是4厘米，上方有一个深1厘米的正方形凹槽。这个立方体零件的表面积是多少平方厘米？

16、将一个立方体的高增加2厘米，便得到一个长方体，表面积增加96平方厘米。原来立方体的表面积是多少？

17、一个棱长是4分米的立方体木块。如果在左右两面中心挖出一个边长为1分米的正方形贯通洞。现在的表面积是多少？

2004年5月15日，美国国家海洋和大气局顾问、数学爱好者乔希·芬德利(Josh Findley)用一台装有2.4GH_Z奔腾处理器的个人计算机，找到了目前世界上已知最大的梅森素数。该素数为2的24036583次方减1(即2^24036583－1)，它有7235733位数，如果用普通字号将这个数字连续写下来，它的长度可达3万米！它是2000多年来人类发现的第41个梅森素数，也是目前已知的最大素数。世界上许多著名的新闻媒体和科学刊物都对这一消息进行了报道和评介，认为这是数学研究和计算技术中最重要的突破之一。

也许会有人感到奇怪：素数不就是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数吗？在数学和计算机科学高度发达的今天，为什么发现一个已知的最大素数竟如此困难？找到一个已知的最大梅森素数竟成了科学上的大事？是的，魅力无穷的梅森素数具有许多特异的性质和现象，千百年来一直吸引着众多的数学家和数学爱好者对它进行研究；虽然已经揭示了一些规律，但围绕着它仍然有许多未解之谜，等待着人们去探索。

梅森素数的由来

马林·梅森（Marin Mersenne,1588–1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物。他与大科学家伽利略、笛卡尔、费马、帕斯卡、罗伯瓦、迈多治等是密友。虽然梅森致力于宗教，但他却是科学的热心拥护者，在教会中为了保卫科学事业做了很多工作。他捍卫笛卡儿的哲学思想，反对来自教会的批评；也翻译过伽里略的一些著作，并捍卫了他的理论；他曾建议用单摆来作为时计以测量物体沿斜面滚下所需时间，从而使惠更斯发明了钟摆式时钟。

梅森对科学所作的主要贡献是他起了一个极不平常的思想通道作用。17世纪时，科学刊物和国际会议等还远远没有出现，甚至连科学研究机构都没有创立，交往广泛、热情诚挚和德高望众的梅森就成了欧洲科学家之间的联系的桥梁。许多科学家都乐于将成果寄给他，然后再由他转告给更多的人。因此，他被人们誉为“有定期学术刊物之前的科学信息交换站”。梅森和巴黎数学家笛卡儿、费马、罗伯瓦、迈多治等曾每周一次在梅森住所聚会，轮流讨论数学、物理等问题，这种民间学术组织被誉为“梅森学院”，它就是法兰西科学院的前身。

1640年6月，费马在给梅森的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质。我相信它们将成为今后解决素数问题的基础”。这封信讨论了形如2^P－1的数（其中p为素数）。早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究2^P－1的先河，他在名著《几何原本》第九章中论述完美数时指出：如果2^P－1是素数，则2^P－1（2^P－1）是完美数。

梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对2^P－1作了大量的计算、验证工作，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言：对于p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，2^P－1是素数；而对于其他所有小于257的数时，2^P－1是合数。前面的7个数（即2，3，5，7，13，17和19）属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4个数（即31，67，127和257）属于被猜测的部分。不过，人们对其断言仍深信不疑，连大数学家莱布尼兹和哥德巴赫都认为它是对的。

虽然梅森的断言中包含着若干错误（后文详述），但他的工作极大地激发了人们研究2^P－1型素数的热情，使其摆脱作为“完美数”的附庸的地位。可以说，梅森的工作是素数研究的一个转折点和里程碑。由于梅森学识渊博，才华横溢，为人热情以及最早系统而深入地研究2^P－1型的数，为了纪念他，数学界就把这种数称为“梅森数”；并以Mp记之（其中M为梅森姓名的首字母），即Mp=2^P－1。如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”（即2^P－1型素数）。

梅森素数貌似简单，而研究难度却很大。它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且需要进行艰巨的计算。即使属于“猜测”部分中最小的M₃₁=2³¹－1=2147483647，也具有10位数。可以想象，它的证明是十分艰巨的。正如梅森推测：“一个人，使用一般的验证方法，要检验一个15位或20位的数字是否为素数，即使终生的时间也是不够的。”是啊，枯燥、冗长、单调、刻板的运算会耗尽一个人的毕生精力，谁愿让生命的风帆永远在黑暗中颠簸！人们多么想知道梅森猜测的根据和方法啊，然而年迈力衰的他来不及留下记载，四年之后就去世了；人们的希望与梅森的生命一起泯灭在流逝的时光之中。看来，伟人的“猜测”只有等待后来的伟人来解决了。

充满艰辛与乐趣的探索历程

梅森素数就像数学海洋中的一颗璀璨明珠，吸引着一代又一代的研究者去探寻。自梅森提出其断言后，人们发现的已知最大素数几乎都是梅森素数；因此，寻找新的梅森素数的历程也就几乎等同于寻找新的最大素数的历程。而梅森断言为素数而未被证实的几个Mp当然首先成为人们研究的对象。

1772年，瑞士数学家欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了M₃₁是一个素数，它共有10位数，堪称当时世界上已知的最大素数。欧拉的毅力与技巧都令人赞叹不已，他因此获得了“数学英雄”的美誉。这是寻找已知最大素数的先声。欧拉还证明了欧几里得关于完美数的定理的逆定理，即：每个偶完美数都具有形式2^P－1（2^P－1），其中2^P－1是素数。这就使得偶完美数完全成了梅森素数的“副产品”了。欧拉的艰辛给人们提示：在伟人难以突破的困惑面前要想确定更大的梅森素数，只有另辟蹊径了。

100年后，法国数学家鲁卡斯提出了一个用来判别Mp是否是素数的重要定理——鲁卡斯定理。鲁卡斯的工作为梅森素数的研究提供了有力的工具。1883年，数学家波佛辛利用鲁卡斯定理证明了M₆₁也是素数——这是梅森漏掉的。梅森还漏掉另外两个素数：M₈₉和M₁₀₇，它们分别在1911年与1914年被数学家鲍尔斯发现。

1903年，在美国数学学会的大会上，数学家柯尔作了一个一言不发的报告，他在黑板上先算出2⁶⁷－1，接着又算出193707721×761838257287，两个结果相同。这时全场观众站了起来为他热烈鼓掌，这在美国数学学会开会的历史上是绝无仅有的一次。他第一个否定了“M₆₇为素数”这一自梅森断言以来一直被人们相信的结论。这短短几分钟的报告却花了柯尔3年的全部星期天。1922年，数学家克莱契克进一步验证了M₂₅₇并不是素数，而是合数（但他没有给出这一合数的因子，直到20世纪80年代人们才知道它有3个素因子）。

1930年，美国数学家雷默改进了鲁卡斯的工作，给出了一个针对M_p的新的素性测试方法，即鲁卡斯-雷默方法：M_p＞3是素数的充分必要条件是L_p-2=0，其中L₀=4，L_n+1=(L_n－2)ModM_p。这一方法直到今天的“计算机时代”仍发挥重要作用。

“手算笔录时代”，人们历尽艰辛，仅找到12个梅森素数。而计算机的产生使寻找梅森素数的研究者如虎添翼。1952年，数学家鲁滨逊等人将鲁卡斯-雷默方法编译成计算机程序，使用SWAC型计算机在短短几小时之内，就找到了5个梅森素数：M₅₂₁、M₆₀₇、M₁₂₇₉、M₂₂₀₃和M₂₂₈₁。其后，M₃₂₁₇在1957年被黎塞尔证明是素数；M₄₂₅₃和M₄₄₂₃在1961年被赫维兹证明是素数。1963年，美国数学家吉里斯证明M₉₆₈₉和M₉₉₄₁是素数。1963年9月6日晚上8点，当第23个梅森素数M₁₁₂₁₃通过大型计算机被找到时，美国广播公司（ABC）中断了正常的节目播放，以第一时间发布了这一重要消息；发现这一素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲，以致于把所有从系里发出的信件都敲上了“2¹¹²¹³－1是个素数”的邮戳。

1971年3月4日晚，美国哥伦比亚广播公司（CBS）中断了正常节目播放，发布了塔可曼使用IBM360-91型计算机找到新的梅森素数M₁₉₉₃₇的消息。而到1978年10月，世界几乎所有的大新闻机构（包括我国的新华社）都报道了以下消息：两名年仅18岁的美国高中生诺尔和尼科尔使用CYBER174型计算机找到了第25个梅森素数：M₂₁₇₀₁。

随着素数P值的增大，每一个梅森素数M_P的产生都艰辛无比；而各国科学家及业余研究者们仍乐此不疲，激烈竞争。1979年2月23日，当美国克雷研究公司的计算机专家史洛温斯基和纳尔逊宣布他们找到第26个梅森素数M₂₃₂₀₉时，人们告诉他们：在两个星期前诺尔已得到这一结果。为此，史洛温斯基潜心发愤，花了一个半月的时间，使用CRAY-1型计算机找到了新的梅森素数M₄₄₄₉₇。这个记录成了当时不少美国报纸的头版新闻。之后，这位计算机专家乘胜前进，使用经过改进的CRAY-XMP型计算机在1983年至1985年间找到了3个梅森素数：M₈₆₂₄₃、M₁₃₂₀₄₉和M₂₁₆₀₉₁。但他未能确定M₈₆₂₄₃和M₂₁₆₀₉₁之间是否有异于M₁₃₂₀₄₉的梅森素数。而到了1988年，科尔魁特和韦尔什使用NEC-FX2型超高速并行计算机果然捕捉到了一条“漏网之鱼”——M₁₁₀₅₀₃。沉寂4年之后，1992年3月25日，英国原子能技术权威机构——哈威尔实验室的一个研究小组宣布他们找到了新的梅森素数M₇₅₆₈₃₉。1994年1月14日，史洛温斯基和盖奇为其公司再次夺回发现“已知最大素数”的桂冠——这一素数是M₈₅₉₄₃₃。而下一个梅森素数M_1257787仍是他们的成果。这一素数是使用CRAY-794超级计算机在1996年取得的。史洛温斯基由于发现7个梅森素数，而被人们誉为“素数大王”。

使用超级计算机寻找梅森素数的游戏实在太昂贵了。1996年美国数学家及程序设计师乔治·沃特曼编制了一个梅森素数寻找程序，并把它放在网页上供数学家和数学爱好者免费使用；这就是著名的“因特网梅森素数大搜索”（GIMPS）项目。1997年美国数学家及程序设计师斯科特·库尔沃斯基和其他人建立了＂素数网＂（PrimeNet），使分配搜索区间和向GIMPS发送报告自动化。现在只要人们去GIMPS的主页下载那个免费程序，就可以立即参加GIMPS项目来搜寻梅森素数。目前，全球有近７万名志愿者参加该项目，并动用20多万台计算机联网来进行大规模的分布式计算，以寻找新的梅森素数。看来，因特网联通的个人计算机要与高功能的超级计算机在计算技术上一较高低了。从1996年到2004年5月15日，GIMPS项目发现了7个梅森素数：M_1398269、M_2976221、M_3021377、M_6972593、M_13466917、M_20996011和M_24036583，它们都是使用奔腾型计算机得到的结果。

时至今日止，人们已经发现了41个梅森素数，并且确定M_6972593位于梅森素数序列中的第38位。现把它们列表如下：

由上表可见，梅森素数的分布极不规则。我们甚至可以看到，连找到梅森素数的时间分布都极不规则，有时许多年未能找到一个，而有时则一下找到好几个。探索梅森素数的分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。数学家们在长期的摸索中，提出了一些猜想。英国数学家香克斯、美国数学家吉里斯、法国数学家托洛塔和德国数学家伯利哈特就曾分别给出过关于梅森素数分布的猜测，但他们的猜测有一个共同点，就是都以近似表达式给出；而它们与实际情况的接近程度均未尽如人意。中国数学家及语言学家周海中经过多年的研究，于1992年首先给出了梅森素数分布的精确表达式，为人们寻找这一素数提供了方便；后来这一科研成果被国际数学界命名为“周氏猜测”。著名的《科学》杂志上有一篇评论文章指出，这是梅森素数研究中的一项重大突破。

不久前，国际电子新领域基金会（IEFF）宣布了由一位匿名者资助的为通过GIMPS项目来寻找新的更大的梅森素数而设立的奖金。它规定向第一个找到超过一千万位数的个人或机构颁发10万美元。后面的奖金依次为：超过1亿位数，15万美元；超过10亿位数，25万美元。但据悉，绝大多数研究者参与该项目不是为了金钱而是出于乐趣、荣誉感和探索精神。可以相信，梅森素数这颗数海明珠正以其独特的魅力，吸引着更多的有志者去寻找和研究。

梅森素数的意义

自古希腊时代直至17世纪，人们寻找梅森素数的意义似乎只是为了寻找完美数。但自梅森提出其著名断言以来，特别是欧拉证明了欧几里得关于完美数的定理的逆定理以来，完美数已仅仅是梅森素数的一种“副产品”了。

寻找梅森素数在现代已有了十分丰富的意义。寻找梅森素数是发现已知最大素数的最有效的途径，自欧拉证明M₃₁为当时最大的素数以来，在发现已知最大素数的世界性竞赛中，梅森素数几乎囊括了全部冠军。

寻找梅森素数是测试计算机运算速度及其他功能的有力手段。如M_1257787就是1996年9月美国克雷公司在测试其最新超级计算机的运算速度时得到的。梅森素数在推动计算机功能改进方面发挥了独特作用。发现梅森素数不仅仅需要高功能的计算机，它还需要素数判别和数值计算的理论与方法以及高超巧妙的程序设计技术等等，因而它还推动了数学皇后——数论的发展，促进了计算数学、程序设计技术的发展。

由于寻找梅森素数需要多种学科的支持，也由于发现新的“最大素数”所引起的国际影响使得对于梅森素数的研究能力已在某种意义上标志着一个国家的科学技术水平，而不仅仅是代表数学的研究水平。从各国各种传媒（而不仅仅是学术刊物）争相报道新的梅森素数的发现，我们也可清楚地看到这一点。

梅森素数在实用领域也有用武之地。现在人们已将大素数用于现代密码设计领域。其原理是：将一个很大的数分解成若干素数的乘积非常困难，但将几个素数相乘却相对容易得多。在这种密码设计中，需要使用较大的素数，素数越大，密码被破译的可能性就越小。

寻找梅森素数最新的意义是：它促进了分布式计算技术的发展。从最新的7个梅森素数是在因特网项目中发现这一事实，我们已可以想象到网络的威力。分布式计算技术使得用大量个人计算机去做本来要用超级计算机才能完成的项目成为可能；这是一个前景非常广阔的领域。

最后，有必要指出的是：素数有无穷多个，这一点早为欧几里得发现并证得。然而，梅森素数是否有无穷多个？这是目前尚未解决的著名数学难题；而揭开这一未解之谜，正是科学追求的目标。让我们以数学大师希尔伯特的名言来结束本文：“我们必须知道，我们必将知道。”

四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。

       四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”（右图）

       这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。

       四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。

       1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家汉密尔顿爵士请教。汉密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年汉密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。

       1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。

       肯普的证明是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其他国家，或没有三个以上的国家相遇于一点，这种地图就说是“正规的”（左图）。如为正规地图，否则为非正规地图（右图）。一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系在一起，但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色，如果有一张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五色的，要证明四色猜想成立，只要证明不存在一张正规五色地图就足够了。

       肯普是用归谬法来证明的，大意是如果有一张正规的五色地图，就会存在一张国数最少的“极小正规五色地图”，如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六个，就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的，这样一来就不会有极小五色地图的国数，也就不存在正规五色地图了。这样肯普就认为他已经证明了“四色问题”，但是后来人们发现他错了。

       不过肯普的证明阐明了两个重要的概念，对以后问题的解决提供了途径。第一个概念是“构形”。他证明了在每一张正规地图中至少有一国具有两个、三个、四个或五个邻国，不存在每个国家都有六个或更多个邻国的正规地图，也就是说，由两个邻国，三个邻国、四个或五个邻国组成的一组“构形”是不可避免的，每张地图至少含有这四种构形中的一个。

       肯普提出的另一个概念是“可约”性。“可约”这个词的使用是来自肯普的论证。他证明了只要五色地图中有一国具有四个邻国，就会有国数减少的五色地图。自从引入“构形”，“可约”概念后，逐步发展了检查构形以决定是否可约的一些标准方法，能够寻求可约构形的不可避免组，是证明“四色问题”的重要依据。但要证明大的构形可约，需要检查大量的细节，这是相当复杂的。

       11年后，即1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。他指出肯普说没有极小五色地图能有一国具有五个邻国的理由有破绽。不久，泰勒的证明也被人们否定了。人们发现他们实际上证明了一个较弱的命题——五色定理。就是说对地图着色，用五种颜色就够了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。

       进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，美国著名数学家、哈佛大学的伯克霍夫利用肯普的想法，结合自己新的设想；证明了某些大的构形可约。后来美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。

       高速数字计算机的发明，促使更多数学家对“四色问题”的研究。从1936年就开始研究四色猜想的海克，公开宣称四色猜想可用寻找可约图形的不可避免组来证明。他的学生丢雷写了一个计算程序，海克不仅能用这程序产生的数据来证明构形可约，而且描绘可约构形的方法是从改造地图成为数学上称为“对偶”形着手。

       他把每个国家的首都标出来，然后把相邻国家的首都用一条越过边界的铁路连接起来，除首都(称为顶点)及铁路(称为弧或边)外，擦掉其他所有的线，剩下的称为原图的对偶图。到了六十年代后期，海克引进一个类似于在电网络中移动电荷的方法来求构形的不可避免组。在海克的研究中第一次以颇不成熟的形式出现的“放电法”，这对以后关于不可避免组的研究是个关键，也是证明四色定理的中心要素。

       电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。美国伊利诺大学哈肯在1970年着手改进“放电过程”，后与阿佩尔合作编制一个很好的程序。就在1976年6月，他们在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明，轰动了世界。

       这是一百多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事，当两位数学家将他们的研究成果发表的时候，当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了“四色足够”的特制邮戳，以庆祝这一难题获得解决。

       “四色问题”的被证明仅解决了一个历时100多年的难题，而且成为数学史上一系列新思维的起点。在“四色问题”的研究过程中，不少新的数学理论随之产生，也发展了很多数学计算技巧。如将地图的着色问题化为图论问题，丰富了图论的内容。不仅如此，“四色问题”在有效地设计航空班机日程表，设计计算机的编码程序上都起到了推动作用。

       不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。直到现在，仍由不少数学家和数学爱好者在寻找更简洁的证明方法。

教学目标：1、使学生理解质数（素数）和合数的意义，知道它们之间的联系和区别，并能判断一个数是质数还是合数。2、培养学生的观察、比较、分类和归纳概括能力。3、介绍科学家故事，激发学生爱科学、爱祖国的情感。

教学重点：质数与合数的意义。

教学难点：质数、合数与奇数、偶数的区别与联系。

教学过程：

一、创设情境，提出问题

1、每个正方形的边长为1，用3个这样的小正方形，你能拼出几个不同形状的长方形？这样的四个小正方形能拼出几个不同的长方形呢？如果用12个小正方形呢？是不是个数越多，拼的个数也越多？当小正方形的个数在怎样的情况下，只能拼出一个长方形？

2、完成表格

你发现什么？（拼成长方形的个数与这个数的约数的个数有关）

3、根据约数的个数我们把自然数进行分类。这就是今天我们要学习的内容。

二、新授

1、引导探究，建立概念

（1）说出1～13约数（边说边板书）

（2）请同学们观察这些数的约数，提出问题：根据约数的多少可以把它们分成哪几类？（小组讨论）

有1个约数的：1

有2个约数的：2、3、5、7、11、13

有2个以上约数的：4、6、8、9、10、12

2、归纳特点，概括定义

（1）2、3、5、7、11、13是质数，4、6、8、9、10、12是合数，对照比较，两个约数有什么特点？

下面请同学们想一想，议一议，什么是质数？什么是合数？

（2）讨论以后汇报

①一个数如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（素数）。

②一个数如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。

③问：1是质数还是合数？为什么？1既不是质数，也不是合数。

（3）自然数中是不是除了质数就是合数？

（